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Digitale Messtechnik (Analog-digital-Umsetzung)

  • Gerhard Gerhard
  • Hans-Rolf TränklerEmail author
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Zusammenfassung

Wichtige Gründe für die Bedeutung der digitalen Messtechnik sind die kostengünstige Verfügbarkeit der Mikrorechner sowie damit verbunden die der digitalen Messsignalverarbeitung. Digitale Messsignale besitzen außerdem Vorteile im Hinblick auf die Störsicherheit der Signalübertragung und die Einfachheit der galvanischen Trennung. Im vorliegenden Beitrag werden zunächst die Prinzipien der digitalen Signaldarstellung behandelt. Mit Hilfe der mathematischen Beschreibung der Wertdiskretisierung (Amplitudenquantisierung) und der Zeitdiskretisierung (Abtastung) werden Art und Größe der dabei jeweils auftretenden Fehler diskutiert. Ferner werden die Methoden der digitalen Zeit- und Frequenzmessung behandelt. Schließlich wird die gerätetechnische Realisierung der Wandlung analoger Signale in digitale Signale durch Analog-digital-Umsetzer (ADU) sowie der Wandlung digitaler Signale in analoge Signale durch Digital-analog-Umsetzer (DAU) beschrieben.

Schlüsselwörter

Quantisierung Quantisierungsfehler Zeitabtastung Abtasttheorem Zeitmessung Frequenzmessung ADU DAU Charge-balancing-Umsetzer Zweirampenumsetzer Nachlaufumsetzer Sukzessive Approximation Parallelumsetzer Delta-Sigma-Umsetzer 

1 Quantisierung und digitale Signaldarstellung

1.1 Informationsverlust durch Quantisierung

Im Gegensatz zur analogen Signaldarstellung, bei der die Messgrößen auf stetige Messsignale abgebildet werden, sind bei der digitalen Messsignaldarstellung nur diskrete Messsignale vorhanden, die durch Abtastung, Quantisierung und Codierung erhalten werden.

Bei der Quantisierung ist ein Informationsverlust unvermeidlich. Die sinnvolle Quantisierung hängt von der Art des physikalischen Messsignals und von der vorgesehenen Anwendung ab. Bei akustischen Signalen bietet sich z. B. eine ungleichförmige Quantisierung an. Durch logarithmische Quantisierung wird z. B. vermieden, dass sehr kleine Messsignale im sog. Quantisierungsrauschen untergehen (Anwendung beim Kompander). Die Quantisierung bei gleichförmiger Quantisierung wird i. Allg. so gewählt, dass sie in etwa dem zulässigen Fehler des Messsignals entspricht. Dadurch wird sichergestellt, dass weder durch übermäßige Quantisierung eine zu hohe Genauigkeit vorgetäuscht wird, noch durch zu geringe Quantisierung die vorhandene Genauigkeit des Messgrößenaufnehmers verschenkt wird.

In Abb. 1a ist eine Quantisierungskennlinie für acht Quantisierungsstufen dargestellt. Abb. 1b zeigt die Quantisierungsabweichung (auch: Quantisierungsfehler), die gleich der Differenz von digitalem Istwert (Treppenkurve) und linear verlaufendem Sollwert ist. Sie springt an den Sprungstellen von −0,5 auf +0,5 und sinkt dann wieder linear auf den Wert −0,5 ab, wo die nächste Sprungstelle ist. Die maximale Quantisierungsabweichung beträgt also 0,5.
Abb. 1

Quantisierung. a Kennlinie, b Quantisierungsfehler, c Informationsverlust

Der mit der Quantisierung verbundene Informationsverlust ist deutlich in Abb. 1c zu erkennen, da sämtlichen Analogwerten A im Bereich
$$ N-0,5<A\leqq N+0,5 $$
der eine diskrete Wert D = N zugeordnet ist (N ganzzahlig). In der Praxis kann man daher aus D nicht auf den wahren Wert von A schließen, sondern A nur mit einer gewissen Unsicherheit angeben.

1.2 Der relative Quantisierungsfehler

Im einfachsten Fall werden den bei der Quantisierung entstandenen diskreten Quantisierungsstufen (positive ganze n-stellige) Dualzahlen zugeordnet, für die gilt
$$ N=\sum \limits_{i=0}^{n-1}{a}_i\cdot {2}^i. $$
(Weitere Codes zur Zahlendarstellung siehe Abschn. 1 in Kap. „Rechnerorganisation“).
Mit einer n-stelligen Dualzahl lassen sich die Werte 0 bis 2n − 1 darstellen, die Anzahl der darstellbaren Werte ist also 2n. Die Koeffizienten ai sind binäre Größen, die also nur die Werte 0 oder 1 annehmen können. Der größtmögliche Informationsgehalt H einer n-stelligen Dualzahl ist
$$ H=\mathrm{ld}\, {2}^n=n\, \mathrm{Sh}. $$

Dabei bezeichnet ld den Logarithmus zur Basis 2 (logarithmus dualis), und die Pseudoeinheit Shannon (Sh) macht deutlich, dass der betrachtete Zahlenwert einen Informationsgehalt ausdrückt. Die Wortlänge (Stellenzahl) eines binären Datenworts wird häufig in der Einheit Bit als der Zahl der Binärstellen angegeben. Eine einzelne Binärstelle wird ebenfalls als Bit (binary digit) bezeichnet. Ein Datenwort mit einer Wortlänge von 8 bit nennt man ein Byte (Einheitenzeichen B). Ein Datenstrom von 1 kB (Kilobyte), 1 MB (Megabyte) oder 1 GB (Gigabyte) enthält 103 bzw. 106 bzw. 109 Datenworte zu 8 bit. Ein Speicher mit einer Kapazität von 1 KiB (Kibibyte), 1 MiB (Mebibyte) oder 1 GiB (Gibibyte) kann 210 = 1024 bzw. 220 ≈ 1,049 ∙ 106 bzw. 230 ≈ 1,074 ∙ 109 Datenworte speichern.

Setzt man bei ganzen Dualzahlen den Quantisierungsfehler gleich eins, so ist die relative Quantisierungsabweichung (auch: der relative Quantisierungsfehler) bei Bezug auf den Codeumfang von 2n
$$ {F}_{\mathrm{q}\ \mathrm{rel}}={2}^{-n}. $$
Abhängig von der Stellenzahl n ist in Abb. 2 der relative Quantisierungsfehler aufgetragen. Bei einem 10-stelligen Digitalsignal (einem typischen Wert etwa bei digitalen Oszilloskopen) liegt der Quantisierungsfehler von 2−10 = 1/1024 also bereits unter 1 ‰.
Abb. 2

Relativer Quantisierungsfehler abhängig von der Stellenzahl

2 Abtasttheorem und Abtastfehler

2.1 Das Shannon’sche Abtasttheorem

Ein kontinuierliches, analoges Messsignal x(t), dessen Funktionswerte für negative Zeiten verschwinden, besitzt das komplexe Spektrum X(j ω), das sich mithilfe der Fourier-Transformation (vgl. Abschn. 15.1 in Kap. „Differenzialgeometrie und Integraltransformationen“) zu
$$ X\left(\mathrm{j}\omega \right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}x(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$
berechnen lässt.
Wird das Signal x(t) nach Abb. 3a zu äquidistanten Zeiten t = n T0 (n = 0,1, …) abgetastet, so erhält man eine Folge x(n T0) von Messwerten.
Abb. 3

a Abtastung eines Messsignals x(t) zu den Zeiten nT0, b Spektrum |X(jω)| eines frequenzbandbegrenzten, abgetasteten Messsignals

Mit der Abtastperiode T0, der Kreisfrequenz ω und der differenziellen Abtastdauer τ ergibt sich das Differenzial d Xn( j ω) und das Spektrum Xn( j ω) des abgetasteten Signals zu
$$ {\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{d}{X}_n\left(\mathrm{j}\omega \right)=x\left({nT}_0\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {nT}_0}\tau, \\ {}{X}_n\left(\mathrm{j}\omega \right)=\tau \sum \limits_{n=0}^{\infty }x\left({nT}_0\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {nT}_0}.\end{array}} $$

Für ein auf |f| < fm frequenzbandbegrenztes Signal ist der Betrag |Xn( j ω)| des Spektrums des abgetasteten Signals in Abb. 3b dargestellt. Das Spektrum des zeitdiskreten Signals ist periodisch. Der spektrale Periodenabstand ist dabei gleich der Abtastfrequenz f0 = 1/T0 = ω0/2 π.

Das Spektrum Xn ( j ω) ist im Bereich −fmffm identisch mit dem Spektrum X(j ω) des kontinuierlichen Analogsignals. Wenn sich also die Teilspektren von Xn( jω) nicht überlappen, dann kann durch ideale Tiefpassfilterung ohne Informationsverlust das kontinuierliche Signal x(t) wiedergewonnen werden.

Das Shannon'sche Abtasttheorem besagt daher, dass die halbe Abtastfrequenz f0/2 größer sein muss als die höchste im Signal enthaltene (nicht: gewünschte!) Frequenz fm, damit der Verlauf eines Signals aus den Abtastwerten (im Idealfall vollständig) rekonstruiert werden kann. Für die Abtastfrequenz muss also gelten:
$$ {f}_0>2{f}_{\mathrm{m}}. $$

Um bei überlappenden Teilspektren eine Mehrdeutigkeit zu vermeiden, muss gegebenenfalls ein analoges sog. Antialiasing-Filter vorgeschaltet werden, das Signalanteile mit Frequenzen ff0/2 ausfiltert (sperrt).

Man beachte, dass alle zeitbegrenzten (impulsartigen) Signale ein unbegrenzt breitbandiges Spektrum besitzen (fm → ∞), so dass das Abtasttheorem bei ihnen nicht exakt, sondern nur näherungsweise eingehalten werden kann. Bei der Messung von Impulsen mit digitalen Messgeräten ist daher stets auf mögliche Impulsverzerrungen zu achten.

2.2 Frequenzgang bei Extrapolation nullter Ordnung

Die vollständige Rekonstruktion eines bandbegrenzten Signals aus den Abtastwerten ist entsprechend dem Abtasttheorem mit einem idealen Rechteckfilter möglich, das zum Abtastzeitpunkt nT0 den Wert 1 und zu allen anderen Abtastzeitpunkten den Wert 0 liefert.

Im Regelfall begnügt man sich mit einem einfachen Abtast- und Haltekreis nach Abb. 4a, bei dem der abgetastete Wert bis zur nächsten Abtastung beibehalten wird. Man spricht deshalb auch von einer Extrapolation nullter Ordnung.
Abb. 4

a Abtast- und Haltekreis, b Amplitudengang eines Haltekreises

Das Spektrum Y(jω) des Ausgangssignals y(t) des Abtast- und Haltekreises berechnet sich durch Summation der Teilintegrale im jeweiligen Definitionsbereich nT0t < (n + 1) T0 zu
$$ Y\left(\mathrm{j}\omega \right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}y(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\underset{nT_0}{\overset{\left(n+1\right){T}_0}{\int }}x\left({nT}_0\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t. $$
Die Lösung des Integrals liefert zunächst
$$ {\displaystyle \begin{array}{c}Y\left(\mathrm{j}\omega \right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty }x\left({nT}_0\right)\frac{1}{-\mathrm{j}\omega }{\left[{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\right]}_{nT_0}^{\left(n+1\right){T}_0}\\ {}=\sum \limits_{n=0}^{\infty }x\left({nT}_0\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {nT}_0}\frac{1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {T}_0}}{\mathrm{j}\omega}\\ {}=\sum \limits_{n=0}^{\infty }x\left({nT}_0\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {nT}_0}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {T}_0/2}{T}_0\mathrm{si}\left(\omega {T}_0/2\right)\, \end{array}} $$
mit si(x) = sin(x)/x. Dabei wurde Gebrauch gemacht von ejφ − e−jφ = 2j sin φ.
Der Frequenzgang eines Haltekreises ergibt sich nach Division durch das oben berechnete Spektrum Xn(jω) zu
$$ G\left(\mathrm{j}\omega \right)=\frac{Y\left(\mathrm{j}\omega \right)}{X_n\left(\mathrm{j}\omega \right)}=\frac{T_0}{\tau}\cdot \mathrm{si}\left(\omega {T}_0/2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {T}_0/2}. $$
Mit ωT0/2 = π f/f0 ergibt sich der Amplitudengang zu
$$ \mid G\left(\mathrm{j}\omega \right)\mid =\frac{T_0}{\tau}\cdot \mathrm{si}\left(\pi f/{f}_0\right). $$

In Abb. 4b ist der Frequenzbereich 0 ≦ f < f0/2, in dem das Abtasttheorem erfüllt ist, grau markiert.

2.3 Abtastfehler eines Haltekreises

Der relative Abtastfehler Frel eines Abtastkreises beträgt
$$ {F}_{\mathrm{rel}}=\mathrm{si}\left(\pi f/{f}_0\right)-1. $$
Dabei wurde für den Istwert die Funktion si(π f/f0) und für den Sollwert der Wert 1 eingesetzt, der sich bei der Frequenz f = 0 ergibt. Nach Reihenentwicklung ergibt sich der Abtastfehler
$$ {F}_{\mathrm{rel}}=-\frac{{\left(\pi f/{f}_0\right)}^2}{3!}+\frac{{\left(\pi f/{f}_0\right)}^4}{5!}-\dots $$
Für Frequenzen unter etwa 0,2 f0 genügt es, nur das erste Glied dieser Reihe zu berücksichtigen, da das zweite Glied mit weniger als 2 % zum Abtastfehler beiträgt wegen
$$ {F}_{\mathrm{rel}}=-\frac{{\left(\pi f/{f}_0\right)}^2}{6}\cdot \left(1-\frac{{\left(\pi f/{f}_0\right)}^2}{20}+\dots \right). $$
Bei einem zulässigen relativen Fehler Frel ergibt sich die maximale Frequenz fm als Funktion der Abtastfrequenz f0 zu
$$ {f}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{\pi}\sqrt{6\left(-{F}_{\mathrm{rel}}\right)}\, {f}_0. $$
Das Frequenzverhältnis fm/f0 ist in Abb. 5 abhängig von Frel aufgetragen.
Abb. 5

Bezogene Maximalfrequenz fm/f0 als Funktion des zulässigen relativen Fehlers Frel bei einem Haltekreis

Bei fünf Abtastungen pro Periode der höchsten Messsignalfrequenz (f0 = 5 fm) ist der relative Abtastfehler betragsmäßig noch 6,6 %. Soll der zulässige Abtastfehler jedoch nur 1 % oder 0,01 % betragen, so sind 12,8 bzw. 128 Abtastungen pro Periode der höchsten Messsignalfrequenz erforderlich.

3 Digitale Zeit- und Frequenzmessung

Der Übergang von der analogen zur digitalen Signalstruktur erfordert prinzipiell eine Quantisierung mithilfe von Komparatoren oder Schmitt-Triggern (Grundschaltungen siehe Kap. „Analoge Grundschaltungen“).

3.1 Prinzip der digitalen Zeit- und Frequenzmessung

Bei der digitalen Zeitmessung werden die von einem Signal bekannter Frequenz während der unbekannten Zeit in einen Zähler einlaufenden Impulse gezählt. Bei der digitalen Frequenzmessung werden umgekehrt die während einer bekannten Zeit von dem Signal unbekannter Frequenz herrührenden Impulse gezählt. Nach Abb. 6a gelangen Zählimpulse vom Frequenzeingang zum Impulszähler, solange durch eine logische Eins am Zeiteingang das UND-Gatter freigeschaltet ist.
Abb. 6

Prinzip der digitalen Zeit- und Frequenzmessung. a Blockschaltbild, b Ablaufdiagramm

Im Ablaufdiagramm nach Abb. 6b sind die Start- und Stoppsignale im Abstand t am Eingang der bistabilen Kippstufe (auch Flipflop genannt), das Zeitsignal mit der Zeitdauer t am Ausgang des Flipflops, das Frequenzsignal mit der Frequenz f bzw. der Periodendauer 1/f und die begrenzte Impulsfolge am Ausgang des UND-Gatters, die in den Impulszähler einläuft, dargestellt. Schmale Impulse des Frequenzsignals vorausgesetzt, ist bei beliebiger Lage des Startzeitpunktes die Zeitdauer
$$ t=N\frac{1}{f}+\left({t}_1-{t}_2\right)={N}_{\mathrm{soll}}\frac{1}{f}. $$
Dabei sind N die ganzzahlige Impulszahl der begrenzten Impulsfolge, die in den Zähler einläuft, 1/f die Periodendauer des Frequenzsignals sowie t1 und t2 die kleinen Restzeiten zwischen Startsignal bzw. Stoppsignal und dem nächstliegenden Impuls des Frequenzsignals. Der Sollwert Nsoll ist eine rationale Zahl, die angibt, wie oft die Periodendauer 1/f in der Messzeit t enthalten ist. Durch Multiplikation mit der Frequenz f erhält man die Beziehung
$$ ft=N+f\left({t}_1-{t}_2\right)={N}_{\mathrm{soll}}. $$
Für große Messzeiten tt1t2 ergibt sich der Zählerstand
$$ N= ft. $$
Der absolute Quantisierungsfehler ist
$$ {F}_{\mathrm{q}}=N-{N}_{\mathrm{soll}}=f\left({t}_2-{t}_1\right). $$
Da der Betrag von t2t1 die reziproke Frequenz 1/f nicht überschreiten kann, kann der Betrag des Quantisierungsfehlers eins nicht überschreiten:
$$ \mid {F}_{\mathrm{q}}\mid \, \leqq 1. $$
Ist die Zeitdauer t zufällig ein ganzzahliges Vielfaches der reziproken Frequenz 1/f, so sind die Restzeiten gleich groß (t1 = t2) und der Quantisierungsfehler – unabhängig vom Startzeitpunkt – gleich null. Bei gleichverteiltem Startzeitpunkt beträgt für t1 > t2 die Wahrscheinlichkeit P, dass statt N der Wert N + 1 ausgegeben wird
$$ P=\left({t}_1-{t}_2\right)f= ft-N. $$
Beobachtet man also beispielsweise Zählerstände N + 1 mit der Wahrscheinlichkeit P und Zählerstände N mit der Wahrscheinlichkeit 1 − P, so ist bei einer genügenden Zahl von Beobachtungen der Sollwert
$$ {N}_{\mathrm{soll}}=N+P. $$

3.2 Der Quarzoszillator

Die Genauigkeit (quantitativ also die Messunsicherheit) einer digitalen Zeit- oder Frequenzmessung hängt außer vom Quantisierungsfehler im Wesentlichen von der Genauigkeit der verwendeten Referenzfrequenz bzw. Referenzzeit ab. Ohne Berücksichtigung des Quantisierungsfehlers ist der Zählerstand N = f t sowohl der Messzeit als auch der Messfrequenz proportional. Bei der digitalen Zeitmessung muss also die Referenzfrequenz f und bei der digitalen Frequenzmessung die Referenzzeit t konstant gehalten werden. Dies wird in beiden Fällen durch einen Quarzoszillator geleistet, an dessen Frequenzkonstanz hohe Anforderungen gestellt werden müssen.

Relative Frequenzabweichungen von weniger als 10−4 sind mit einfachsten Mitteln, Abweichungen von weniger als 10−8 noch mit vertretbarem Aufwand (Thermostatisierung) erreichbar. Typische Werte für relative Frequenzabweichungen liegen zwischen 10−6 und 10−5. Darin sind sowohl systematische Abweichungen infolge von Einflusseffekten als auch zufällige Abweichungen inbegriffen.

Von besonderer Bedeutung für die Frequenzkonstanz des Quarzes ist dessen Temperaturgang. Die damit zusammen hängenden systematischen relativen Frequenzabweichungen Δf/f lassen sich in ihrer Abhängigkeit von der Temperatur mit guter Näherung durch Polynome 2. oder 3. Grades beschreiben:
$$ \frac{\Delta f}{f}=a\left(\vartheta -{\vartheta}_0\right)+b{\left(\vartheta -{\vartheta}_0\right)}^2+c{\left(\vartheta -{\vartheta}_0\right)}^3. $$

Dabei ist ϑ die Temperatur und ϑ0 die Temperatur, bei der der Quarz abgeglichen wurde; a, b und c sind der lineare, quadratische bzw. kubische Temperaturkoeffizient.

Das Schaltzeichen eines Schwingquarzes (a) und ein typischer Temperaturgang der Resonanzfrequenz für AT-Schnitte (b) sind in Abb. 7 angegeben.
Abb. 7

Schwingquarz. a Schaltzeichen, b Temperaturgang der Resonanzfrequenz

Abweichungen vom Schnittwinkel Θ ≈ 35° führen zu unterschiedlichen Maxima und Minima im Temperaturgang. Dadurch lassen sich bei einem gegebenen Temperaturbereich die Frequenzabweichungen minimieren. Die gestrichelte Kurve stellt den sog. optimalen AT-Schnitt dar, bei dem von −50 °C bis +100 °C die temperaturbedingten Frequenzabweichungen unter ±12 · 10−6 bleiben.

3.3 Digitale Zeitmessung

Bei der digitalen Zeitmessung werden nach Abb. 8a die von der bekannten Frequenz fref/Nf während der zu messenden Zeit tx in einen Zähler einlaufenden Impulse gezählt.
Abb. 8

Digitale Zeitmessung. a Blockschaltbild, b Impulsformung bei Periodendauermessung

Die zu messende Zeit ist
$$ {t}_{\mathrm{x}}=\frac{N_{\mathrm{f}}}{f_{\mathrm{ref}}}N. $$

Die erreichbare Zeitauflösung hängt von der Quarzfrequenz ab und ist z. B. bei fref = 10 MHz und Nf = 1 gleich 1/fref = 0,1 μs.

Zur Messung längerer Zeiten wird dem Quarzoszillator ein digitaler Frequenzteiler mit dem ganzzahligen Teilerfaktor Nf nachgeschaltet. Bei Quarzuhren verwendet man z. B. einen Biegeschwinger-Quarz (Stimmgabelquarz) mit 32.768 Hz. Nach Frequenzteilung um den Faktor Nf = 215 = 32.768 ergibt sich eine Referenzfrequenz von 1 Hz, die zu der gewünschten Auflösung von 1 s führt.

Fordert man für eine Quarzuhr einen zulässigen Fehler von weniger als 1 Sekunde pro Tag, so entspricht dem ein mittlerer relativer Fehler der Quarzfrequenz von
$$ \left|\frac{\Delta f}{f}\right|\leqq \frac{1\, \mathrm{s}}{1\, \mathrm{d}}=\frac{1}{86.400}\approx {10}^{-5}. $$

Ein relativer Fehler von 10−5 darf dann also nicht überschritten werden, was durch die Unmöglichkeit einer Thermostatisierung erschwert ist.

Zur digitalen Messung der Periodendauer eines Signals wird dieses nach Abb. 8b zunächst über einen Schmitt-Trigger in ein Rechtecksignal umgeformt und dann wie bei der Differenzzeitmessung zur Bildung des Start- und des Stoppsignals benutzt. Kleine Frequenzen werden bevorzugt über die Periodendauer gemessen, um eine kleine Messzeit zu erhalten.

3.4 Digitale Frequenzmessung

Bei der digitalen Frequenzmessung werden nach Abb. 9 die von einer unbekannten Frequenz fx während der bekannten Zeit tT (Torzeit) in einen Zähler einlaufenden N Impulse gezählt.
Abb. 9

Digitale Frequenzmessung (Blockschaltbild)

Die Torzeit tT ist dabei identisch mit der Periodendauer der Frequenz, die durch digitale Teilung der Quarzfrequenz fref durch den Faktor NT entsteht. Mit tT = NT/fref ergibt sich für die unbekannte Frequenz
$$ {f}_{\mathrm{x}}=\frac{N}{t_{\mathrm{T}}}=\frac{f_{\mathrm{ref}}}{N_{\mathrm{T}}}N. $$

Die erreichbare Frequenzauflösung hängt von der Torzeit (Messzeit) tT ab. Oft ist aus dynamischen Gründen die Torzeit auf 1 s oder 10 s begrenzt. Die Frequenzauflösung ist dann 1 Hz bzw. 0,1 Hz.

Zur Messung von Frequenzen über 10 MHz bis in den GHz-Bereich kann die Messfrequenz mithilfe eines schnellen Teilers, z. B. in ECL-Technologie (emitter-coupled logic), in einen Frequenzbereich herabgeteilt werden, der mit der herkömmlichen Technologie beherrscht wird (5 bis 10 MHz).

Digitale Drehzahlmessung

Wichtig ist die digitale Frequenzmessung bei der digitalen Drehzahlmessung (vgl. Abschn. 2.8 in Kap. „Sensoren (Messgrößen-Aufnehmer)“). Auf einer mit der Drehzahl n (in U/min) rotierenden Messwelle sind m Marken gleichmäßig am Umfang verteilt. Über einen geeigneten Abgriff (z. B. optisch, magnetisch, induktiv oder durch Induktion) wird ein elektrisches Signal erzeugt, dessen Frequenz fx nach Impulsformung ausgewertet werden kann. Diese Zählfrequenz fx beträgt
$$ {f}_{\mathrm{x}}={mf}_{\mathrm{D}}=\frac{mn}{60}. $$
Dabei bedeutet fD die Drehfrequenz der Welle in Hz, die sich aus der Drehzahl n in U/min durch Division durch den Faktor 60 ergibt. Der Zusammenhang zwischen Zählerstand N und Drehzahl n in U/min berechnet sich aus
$$ {f}_{\mathrm{x}}=\frac{N}{t_{\mathrm{T}}}=\frac{mn}{60}. $$
Der Zählerstand N ergibt sich damit zu
$$ N=\frac{mt_{\mathrm{T}}}{60}n. $$
Drehzahl n und Zählerstand N stimmen also zahlenmäßig überein, wenn der Faktor
$$ \frac{m}{60}{t}_{\mathrm{T}}={10}^i\, \, \left(i=0,1,\dots \right) $$
einen dekadischen Wert einnimmt. Da bei Universalzählern Torzeiten tT von 0,1, 1 und 10 s üblich sind, ergibt sich bei einer Markenzahl m von 600, 60 bzw. 6 Marken am Umfang ein der Drehzahl n in U/min zahlenmäßig entsprechender Zählerstand N. Bei m = 1000 oder 100 Marken am Umfang ist eine Torzeit tT von 60 ms bzw. 600 ms notwendig.

3.5 Auflösung und Messzeit bei der Periodendauer- bzw. Frequenzmessung

Unter der Annahme einer Quarz-Referenzfrequenz von 10 MHz sollen die bei der Periodendauer- bzw. Frequenzmessung sich ergebenden Quantisierungsfehler und die zugehörigen Messzeiten bestimmt und miteinander verglichen werden.

Bei der digitalen Periodendauermessung beträgt der relative Quantisierungsfehler
$$ \frac{1}{N}=\frac{1}{f_{\mathrm{ref}}{T}_{\mathrm{x}}}=\frac{f_{\mathrm{x}}}{f_{\mathrm{ref}}}. $$
In Abb. 10 ist dieser relative Quantisierungsfehler 1/N abhängig von der Messfrequenz fx im doppeltlogarithmischen Maßstab aufgetragen. Die Messzeit ist identisch mit einer Periode Tx = 1/fx der Messfrequenz.
Abb. 10

Relativer Quantisierungsfehler als Funktion der Messfrequenz bei Periodendauermessung und bei Frequenzmessung

Bei der digitalen Frequenzmessung ist der relative Quantisierungsfehler
$$ \frac{1}{N}=\frac{1}{f_{\mathrm{x}}{t}_{\mathrm{T}}}. $$

Er ist im Abb. 10 für verschiedene Torzeiten tT als Parameter abhängig von der Messfrequenz aufgetragen. Man erkennt, dass bei einer zulässigen Messzeit von z. B. 1 s unter 1 kHz die Periodendauermessung und über 10 kHz die Frequenzmessung zum kleineren Quantisierungsfehler führt. Vom Standpunkt der Genauigkeit her gesehen ist es sinnvoll, keinen wesentlich kleineren Quantisierungsfehler 1/N als den relativen Fehler Δfref/fref der Quarzfrequenz anzustreben.

3.6 Reziprokwertbildung und Multiperiodendauermessung

Bei kleinen Messfrequenzen, wie z. B. der Netzfrequenz von 50 Hz, liefert die Periodendauermessung in wesentlich kürzerer Zeit einen Messwert mit hinreichender Auflösung. Zum Vergleich beträgt bei Frequenzmessung mit einer Torzeit von 1 s der relative Quantisierungsfehler maximal 1/50 = 2 %.

Bei Frequenzsignalen im kHz-Bereich wird bei digitaler Frequenzmessung zur Erzielung einer hohen Auflösung eine verhältnismäßig hohe Torzeit von etwa 10 s oder mehr benötigt. Im Vergleich dazu erfüllt die digitale Periodendauermessung zwar die Forderung nach einer geringen Messzeit, die Auflösung ist dann aber durch die maximale Referenzfrequenz beschränkt. Abhilfe schafft hier die Multiperiodendauermessung nach Abb. 11a.
Abb. 11

Multiperiodendauermessung. a Blockschaltbild, b Auflösung als Funktion der Messfrequenz

Die Messfrequenz fx = 1/Tx wird dabei um den Faktor NT digital geteilt. Als Messergebnis ergibt sich der Zählerstand
$$ N={N}_{\mathrm{T}}{f}_{\mathrm{ref}}{T}_{\mathrm{x}}={N}_{\mathrm{T}}\frac{f_{\mathrm{ref}}}{f_{\mathrm{x}}}. $$
Die Auflösung beträgt
$$ \frac{1}{N}=\frac{1}{N_{\mathrm{T}}}\cdot \frac{f_{\mathrm{x}}}{f_{\mathrm{ref}}} $$
und ist in Abb. 11b als Funktion der Messfrequenz fx mit NT als Parameter aufgetragen.
Die Messzeit ist
$$ {N}_{\mathrm{T}}{T}_{\mathrm{x}}=\frac{N_{\mathrm{T}}}{f_{\mathrm{x}}}. $$
Das Produkt von Auflösung 1/N und Messzeit NT/fx ist konstant und beträgt
$$ \frac{1}{N}\cdot \frac{N_{\mathrm{T}}}{f_{\mathrm{x}}}=\frac{1}{f_{\mathrm{ref}}}. $$

Der minimale Wert dieses Produkts ist durch die Höhe der Referenzfrequenz gegeben. Bei einer zulässigen Messzeit von NT/fx = 0,1 s und einer Referenzfrequenz fref von 10 MHz ist eine Auflösung 1/N von 10−6 möglich. Bei einer Messfrequenz fx von 10 kHz müssen dazu NT = 1000 Perioden der Messfrequenz ausgewertet werden (Abb. 11b).

Der angezeigte Zählerstand N ist bei der Multiperiodendauermessung proportional der Periodendauer. Wird als Messergebnis die Frequenz gewünscht, so muss der Reziprokwert gebildet werden. Dies geschieht bei besseren Universalzählern mit einem Mikrorechner. Die Rechenzeit für die Bildung dieses Reziprokwertes liegt deutlich unter 100 μs. Die Multiperiodendauermessung ist deshalb heute für Frequenzmessungen in allen Frequenzbereichen bedeutungsvoll geworden. Die digitale Frequenzmessung mit voreingestellter Torzeit (preset time) wird deshalb in zunehmendem Maße durch die Multiperiodendauermessung mit voreingestellter Periodenzahl (preset count) ersetzt.

4 Analog-digital-Umsetzung über Zeit oder Frequenz als Zwischengrößen

Bei einer Reihe von Anwendungsfällen, z. B. bei Labor-Digitalvoltmetern, werden keine hohen Anforderungen an die Geschwindigkeit der Analog-digital-Umsetzer (ADU) gestellt. Dort können mit Vorteil Umsetzungsverfahren mit der Zeit oder der Frequenz als Zwischengröße eingesetzt werden, die teilweise eine sehr hohe Genauigkeit ermöglichen.

4.1 Charge-balancing-Umsetzer

Beim Charge-balancing-Umsetzer (Ladungskompensationsumsetzer) wird nach Abb. 12 die umzusetzende Messspannung Ux fortlaufend integriert, während für eine konstante Zeit t1 zusätzlich eine negative Referenzspannung Uref an den Eingang des Integrationsverstärkers angelegt wird. Die Zeit t1 wird dabei gestartet, wenn die Ausgangsspannung durch Integration der Messspannung auf den Wert null abgesunken ist. Der wesentliche Unterschied zum einfachen Spannungs-Frequenz-Umsetzer besteht also darin, dass für eine konstante Zeit t1 auch eine am Eingang anliegende Referenzspannung Uref integriert wird.
Abb. 12

Charge-balancing-Umsetzer. a Prinzip, b Ablaufdiagramm

Die Ausgangsspannung, die nach Ablauf von t1 am Integratorausgang erreicht wird, ist
$$ {u}_{\mathrm{a}}\left({t}_1\right)=\left(\frac{U_{\mathrm{ref}}}{R_2}-\frac{U_{\mathrm{x}}}{R_1}\right)\frac{t_1}{C}. $$
Sie wird durch Integration der Messspannung Ux während der Zeit t2 nach null abgebaut:
$$ {u}_{\mathrm{a}}\left({t}_1\right)-\frac{U_{\mathrm{x}}}{R_1}\cdot \frac{t_2}{C}=0. $$
Durch Elimination von ua(t1) ergibt sich:
$$ {t}_2=\left(\frac{U_{\mathrm{ref}}}{R_2}-\frac{U_{\mathrm{x}}}{R_1}\right)\frac{R_1}{U_{\mathrm{x}}}{t}_1=\left(\frac{R_1}{R_2}\cdot \frac{U_{\mathrm{ref}}}{U_{\mathrm{x}}}-1\right){t}_1. $$
Die Frequenz fx ist deshalb
$$ {f}_{\mathrm{x}}=\frac{1}{t_1+{t}_2}=\frac{1}{t_1}\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{U_{\mathrm{x}}}{U_{\mathrm{ref}}}. $$
Die Frequenz fx ist also der Messspannung Ux proportional. Der Charge-balancing-Umsetzer ist gleichzeitig ein Spannungs-Frequenz-Umsetzer. Im Gegensatz zum einfachen Spannungs-Frequenz-Umsetzer ist die Genauigkeit jedoch nicht von der Integrationskapazität abhängig. Über digitale Treiber werden aus einer Referenzfrequenz fref sowohl die Zeit t1 zur Integration gemäß t1 = N1/fref als auch die Torzeit tT zur digitalen Frequenzmessung gemäß tT = NT/fref gewonnen. Das Digitalsignal entspricht dann der Zahl
$$ {\displaystyle \begin{array}{c}{N}_{\mathrm{x}}={t}_{\mathrm{T}}{f}_{\mathrm{x}}=\frac{N_{\mathrm{T}}}{f_{\mathrm{ref}}}\cdot \frac{f_{\mathrm{ref}}}{N_1}\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{U_{\mathrm{x}}}{U_{\mathrm{ref}}}\\ {}=\frac{N_{\mathrm{T}}}{N_1}\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{U_{\mathrm{x}}}{U_{\mathrm{ref}}}.\end{array}} $$

Langzeitschwankungen der Referenzfrequenz fref beeinflussen also die Messgenauigkeit nicht.

4.2 Zweirampenumsetzer

Beim Zweirampenumsetzer (dual slope converter) nach Abb. 13 wird die Messspannung Ux während einer konstanten Zeit t1 integriert. Nach Ablauf dieser Zeit t1 wird an den Eingang eine Referenzspannung Uref mit umgekehrter Polarität angelegt. Die für die Rückintegration bis zur Ausgangsspannung null benötigte Zeit tx ist dabei der Messspannung Ux proportional. Die Ausgangsspannung zur Zeit t = t1 ist nämlich
$$ {u}_{\mathrm{a}}\left({t}_1\right)=-\frac{1}{RC}\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}-{U}_{\mathrm{x}}\, \mathrm{d}t=\frac{U_{\mathrm{x}}}{RC}{t}_1. $$
Abb. 13

Dual-slope-Umsetzer. a Prinzip, b Ablaufdiagramm

Nach der Zeit t = t1 + tx ist die Ausgangsspannung auf null zurückintegriert worden:
$$ {u}_{\mathrm{a}}\left({t}_1+{t}_{\mathrm{x}}\right)={u}_{\mathrm{a}}\left({t}_1\right)-\frac{1}{RC}\underset{t_1}{\overset{t_1+{t}_{\mathrm{x}}}{\int }}{U}_{\mathrm{ref}}\, \mathrm{d}t=0. $$
Mit der Beziehung
$$ {u}_{\mathrm{a}}\left({t}_1\right)=\frac{U_{\mathrm{ref}}{t}_{\mathrm{x}}}{RC} $$
ergibt sich die Zeit
$$ {t}_{\mathrm{x}}={t}_1\frac{U_{\mathrm{x}}}{U_{\mathrm{ref}}}. $$

Sie ist unabhängig vom Wert der Integrationszeitkonstante RC.

Über einen digitalen Teiler wird aus der Referenzfrequenz fref die Zeit t1 zur Hochintegration gemäß t1 = N1/fref gewonnen. Das digitale Ausgangssignal entspricht dann der Zahl
$$ {N}_{\mathrm{x}}={f}_{\mathrm{ref}}{t}_{\mathrm{x}}={f}_{\mathrm{ref}}\frac{N_1}{f_{\mathrm{ref}}}\cdot \frac{U_{\mathrm{x}}}{U_{\mathrm{ref}}}={N}_1\frac{U_{\mathrm{x}}}{U_{\mathrm{ref}}}. $$

Wie beim Charge-balancing-Umsetzer beeinflussen also auch beim Zweirampenumsetzer Langzeitschwankungen der Referenzfrequenz die Umsetzungsgenauigkeit nicht.

4.3 Integrierende Filterung bei integrierenden Umsetzern

Da bei den integrierenden ADUs die Umsetzung durch Integration der umzusetzenden Eingangsspannung Ux erfolgt, können bei geeigneter Wahl der Integrationszeit überlagerte Störspannungen stark oder sogar vollständig unterdrückt werden.

Dieser Effekt der integrierenden Filterung ist sowohl beim einfachen Spannungs-Frequenz-Umsetzer und beim Charge-balancing-Umsetzer als auch beim Zweirampenumsetzer anwendbar. Die integrierende Filterung soll am Beispiel des Zweirampenumsetzers erklärt werden.

Einer umzusetzenden Messspannung U0 sei eine sinusförmige Störspannung mit der Frequenz fs und der Amplitude Usm überlagert. Die am Eingang anliegende Spannung ist damit
$$ {u}_{\mathrm{x}}(t)={U}_0+{U}_{\mathrm{s}\mathrm{m}}\cos {\omega}_{\mathrm{s}}t. $$
Im Zeitbereich 0 ≦ tt1 erhält man für die Ausgangsspannung des Integrationsverstärkers
$$ {\displaystyle \begin{array}{c}{u}_{\mathrm{a}}(t)=\frac{1}{RC}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left({U}_0+{U}_{\mathrm{s}\mathrm{m}}\cos {\omega}_{\mathrm{s}}t\right)\, \mathrm{d}t\\ {}=\frac{1}{RC}{U}_0+\frac{\sin {\omega}_{\mathrm{s}}t}{RC\cdot {\omega}_{\mathrm{s}}}{U}_{\mathrm{s}\mathrm{m}}.\end{array}} $$
Der Verlauf von Eingangsspannung ux(t) und Ausgangsspannung ua(t) ist in Abb. 14a dargestellt, wo angenommen ist, dass die Integrationszeit t1 gerade gleich der Periodendauer Ts = 1/fs der überlagerten Störwechselspannung ist.
Abb. 14

Integrierende Filterung. a Verlauf der Ein- und Ausgangsspannung, b relativer Fehler als Funktion des Produktes fs t1

Eine überlagerte Störspannung wird vollständig unterdrückt, wenn die Integrationszeit t1 ein ganzes Vielfaches der Periodendauer 1/fs der Störspannung ist. Der relative Fehler, der durch die überlagerte Störspannung verursacht wird, ist allgemein
$$ {F}_{\mathrm{rel}}=\frac{U_{\mathrm{s}\mathrm{m}}}{U_0}\cdot \frac{\sin {\omega}_{\mathrm{s}}{t}_1}{\omega_{\mathrm{s}}{t}_1}. $$
Da in der Praxis keine definierte Phasenbeziehung zwischen dem zeitlichen Verlauf der Störspannung und der Integrationszeit besteht, muss der ungünstigste Fall zugrunde gelegt werden. Dieser ergibt sich, wenn anstelle der Integrationsgrenzen 0 und t1 die Grenzen −t1/2 und +t1/2 eingeführt werden. Der relative Fehler wird dann
$$ {F}_{\mathrm{rel}}=\frac{U_{\mathrm{s}\mathrm{m}}}{U_0}\cdot \frac{\sin \left(\pi {f}_{\mathrm{s}}{t}_1\right)}{\pi {f}_{\mathrm{s}}{t}_1}. $$

Der relative Fehler Frel ist abhängig von fs t1 = t1/Ts in Abb. 14b aufgetragen.

Bei netzfrequenten Störspannungen mit einer Frequenz fs von 50 Hz beträgt die kleinstmögliche Integrationszeit, für die die überlagerte Störspannung gerade vollständig unterdrückt wird, t1 = 1/fs = 20 ms.

Zweirampenumsetzer, die sowohl Störspannungen von 50 Hz als auch von 60 Hz (z. B. USA) integrierend filtern sollen, müssen also mindestens mit einer Integrationszeit t1 von 100 ms, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Periodendauern 20 ms bzw. 16 \( \frac{2}{3} \) ms, oder mit ganzzahligen Vielfachen von 100 ms ausgestattet sein. Die meisten Digitalvoltmeter nach dem Zweirampenprinzip besitzen tatsächlich eine Hochintegrationszeit t1 von 100 ms und ermöglichen wegen der Rückintegrationszeit gerade etwa fünf Messungen pro Sekunde, ein Wert, der für Laboranwendungen ausreichend ist.

5 Analog-digital-Umsetzung nach dem Kompensationsprinzip

Neben den ADUs mit den Zwischengrößen Frequenz oder Zeit sind die direkten ADUs nach dem Kompensationsprinzip von Bedeutung. Diese enthalten gewöhnlich in der Rückführung Digital-analog-Umsetzer (DAU) mit bewerteten Leitwerten oder mit Widerstandskettenleiter. Abhängig von der Abgleichstrategie entstehen im einfachsten Fall Inkrementalumsetzer, die analogen Messsignalen in einer oder in beiden Richtungen (Nachlaufumsetzer) folgen können. Höherwertige Umsetzer arbeiten mit Zähleraufteilung oder erzeugen in jedem Takt ein Bit des digitalen Ausgangssignals. So entsteht der serielle ADU mit Taktsteuerung, der nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation arbeitet.

5.1 Prinzip

ADUs nach dem Kompensationsprinzip enthalten nach Abb. 15 in der Rückführung einen DAU.
Abb. 15

Prinzip der Analog-digital-Umsetzung nach dem Kompensationsprinzip

Mithilfe einer Abgleichschaltung wird dessen digitales Eingangssignal D in geeigneter Weise verändert, bis das analoge Ausgangssignal Uv das umzusetzende analoge Eingangssignal Ux praktisch vollständig kompensiert. Das notwendige Steuersignal S empfängt die Abgleichschaltung von einem Komparator K, der eine logische Eins liefert, solange die umzusetzende Eingangsspannung Ux größer ist als die rückgeführte Vergleichsspannung Uv. Im abgeglichenen Zustand ist das digitale Eingangssignal D des DAU identisch mit dem digitalen Ausgangssignal des gesamten ADU. Ein n-stelliges dualcodiertes Digitalsignal D lässt sich mit den n Koeffizienten a1 bis an darstellen als
$$ D={a}_1{2}^{-1}+{a}_2{2}^{-2}+\dots +{a}_{n-1}{2}^{-\left(n-1\right)}+{a}_n{2}^{-n}. $$

Der maximal mögliche Quantisierungsfehler beträgt 2n und entspricht dem Wert der Stelle mit der kleinsten Stellenwertigkeit (LSB, least significant bit). Die Stelle mit der größten Stellenwertigkeit (MSB, most significant bit) hat den Wert 2−1 = 1/2.

Der Endwert Dmax ist erreicht, wenn alle Koeffizienten ai der n Stellen 1 sind und beträgt
$$ {D}_{\mathrm{max}}={2}^{-1}+{2}^{-2}+\dots +{2}^{-n}=1-{2}^{-n}\approx 1. $$

Dieser Endwert ist praktisch unabhängig von der Stellenzahl n und beträgt näherungsweise 1.

5.2 Digital-analog-Umsetzer mit bewerteten Leitwerten

Digital-analog-Umsetzer sind also eine wesentliche Komponente in ADUs nach dem Kompensationsprinzip. Unter den Digital-analog-Umsetzern mit Widerstandsnetzwerken haben außer den Umsetzern mit Kettenleitern die Umsetzer mit bewerteten Leitwerten besondere Bedeutung erlangt.

Nach Abb. 16a besteht ein 1-bit-DAU im Prinzip aus einem Leitwert Gi, der über einen digital gesteuerten Schalter von einer Referenzspannung Uref gespeist wird.
Abb. 16

Digital-analog-Umsetzer mit bewerteten Leitwerten. a Prinzip bei 1-bit-Umsetzung, b mehrstellige Digital-analog-Umsetzung

Der Ausgangsstrom I ist abhängig vom digitalen Eingangssignal ai:
$$ I={U}_{\mathrm{ref}}{a}_i{G}_i. $$

Ist das digitale Eingangssignal ai = 0, so ist der Schalter geöffnet; für ai = 1 ist der Schalter geschlossen.

Ein mehrstelliges digitales Eingangssignal D mit gewichteter Codierung kann nach Abb. 16b durch Parallelschaltung entsprechend bewerteter Leitwerte umgesetzt werden. Der analoge Ausgangsstrom wird dabei über einen Stromverstärker rückwirkungsfrei in ein proportionales Ausgangssignal, z. B. in eine Spannung Ua, umgeformt.

Der wirksame Leitwert G berechnet sich durch Addition der jeweils zugeschalteten Leitwerte Gi zu
$$ G=\sum \limits_{i=1}^n{a}_i{G}_i. $$
Mit I = Uref G und Ua = Rg I ergibt sich die analoge Ausgangsspannung Ua zu
$$ {U}_{\mathrm{a}}={R}_{\mathrm{g}}{U}_{\mathrm{ref}}\sum \limits_{i=1}^n{a}_i{G}_i. $$
Bei einem DAU für dualcodiertes Eingangssignal müssen also die Leitwerte G1 bis Gn gemäß
$$ {G}_1:{G}_2:\dots :{G}_n={2}^{-1}:{2}^{-2}:\dots :{2}^{-n} $$
dimensioniert werden. Der größte Leitwert ist der Stelle größter Wertigkeit zugeordnet.

5.3 Digital-analog-Umsetzer mit Widerstandskettenleiter

Im Gegensatz zu den DAUs mit bewerteten Leitwerten sind beim DAU mit Widerstandskettenleiter die Stellenwertigkeiten durch die Lage der Einspeisepunkte gegeben. Nach Abb. 17 enthält ein solcher Umsetzer in seiner einfachsten Form einen Kettenleiter mit Längswiderständen R und Querwiderständen 2R. Die Stellungen a1 bis an der n Schalter entsprechen dem digitalen Eingangssignal D. In der linksseitigen Stellung der Schalter (ai = 1) werden die Querwiderstände 2R an die Referenzspannung Uref gelegt, und es fließt ein Strom in den jeweiligen Knotenpunkt des Kettenleiters. Dieser Strom trägt umso mehr zur analogen Ausgangsspannung Ua am Abschlusswiderstand Ra bei, je näher der Knotenpunkt am Ausgang des Umsetzers liegt.
Abb. 17

Digital-analog-Umsetzer mit Widerstands-Kettenleiter

Ua ergibt sich durch Superposition der n Zustände, bei denen sich nur jeweils einer der n Schalter in der Stellung ak = 1 befindet und die anderen in der Position ai = 0:
$$ {U}_{\mathrm{a}}=\frac{R_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}}+R}{U}_{\mathrm{ref}}\, \left(\underset{D}{\underbrace{a_1{2}^{-1}+{a}_2{2}^{-2}+\dots +{a}_n{2}^{-n}}}\right). $$

Das digitale Eingangssignal D ist durch die Koeffizienten a1 bis an bestimmt und der analogen Ausgangsspannung Ua proportional.

Beim DAU mit Widerstandskettenleiter gehen nicht die absoluten Fehler der Widerstände, sondern nur die Abweichungen voneinander in die Genauigkeit der Umsetzung ein. Es ist deshalb zulässig, Widerstände mit gleichen Fehlern einzusetzen. Ebenso muss der Temperaturkoeffizient der verwendeten Widerstände nicht möglichst klein gehalten werden. Wesentlich ist jedoch eine möglichst gute Übereinstimmung des Temperaturgangs der Einzelwiderstände.

5.4 Nachlaufumsetzer mit Zweirichtungszähler

Der einfachste ADU nach dem Kompensationsprinzip ist der Inkrementalumsetzer mit Einrichtungszähler. Da solche Umsetzer entweder nur steigenden oder nur fallenden Eingangsspannungen folgen können, werden Inkrementalumsetzer gewöhnlich mit Zweirichtungszählern gebaut. Diese Nachlaufumsetzer können sowohl steigenden als auch fallenden Eingangssignalen folgen. Im Blockschaltbild nach Abb. 18a ist gezeigt, wie mit einer geeigneten Logik der Vorwärts-Eingang des Zählers angesteuert wird, solange das Eingangssignal größer als das rückgeführte Signal Uv des DAU ist.
Abb. 18

Nachlaufumsetzer mit Zweirichtungszähler. a Prinzip, b Ablaufdiagramm

Der Rückwärts-Eingang des Vorwärts-Rückwärts-Zählers wird angesteuert, wenn die umzusetzende Eingangsspannung kleiner als Uv ist. Ohne zusätzliche Maßnahmen springt das digitale Ausgangssignal immer um eine Quantisierungseinheit hin und her, da ständig an einem der beiden Zählereingänge Taktimpulse anliegen. Dieses Hin- und Herspringen lässt sich vermeiden, indem der Komparator als sog. Fensterkomparator ausgeführt wird, der innerhalb einer bestimmten Totzone keinen der beiden Zählereingänge ansteuert.

Das Ablaufdiagramm nach Abb. 18b zeigt, wie ein Nachlaufumsetzer steigenden und fallenden Eingangsspannungen folgt. Nur wenn die maximale Umsetzungsgeschwindigkeit überschritten ist, folgt der Umsetzer einer veränderlichen Eingangsspannung Ux mit Verzögerung.

Maximalfrequenz bei Nachlaufumsetzung

Bei einem n-bit-Umsetzer mit einer Referenzspannung Uref, die dem Messbereichsendwert entspricht, und bei einer Taktfrequenz ft beträgt die maximale Änderungsgeschwindigkeit der Vergleichsspannung
$$ {\left(\frac{\mathrm{d}{U}_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}t}\right)}_{\mathrm{max}}={2}^{-n}{U}_{\mathrm{ref}}{f}_{\mathrm{t}}. $$
Erfolgt die Änderung der umzusetzenden Eingangsspannung Ux sinusförmig mit der Frequenz f und der Amplitude Um, dann kann der Wechselanteil U der Eingangsspannung durch
$$ {U}_{\sim }(t)={U}_{\mathrm{m}}\sin \left(2\pi ft\right) $$
beschrieben werden. Die maximale Änderungsgeschwindigkeit dieses Wechselanteils der Eingangsspannung ist
$$ {\left(\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{ax}}=2\pi {fU}_{\mathrm{m}}{\left[\cos \left(2\pi ft\right)\right]}_{t=0}=2\pi {fU}_{\mathrm{m}}. $$
Soll der Nachlaufumsetzer verzögerungsfrei folgen können, dann darf die maximale Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsspannung die maximale Änderungsgeschwindigkeit der Vergleichsspannung nicht überschreiten. Die daraus resultierende Ungleichung lautet
$$ {2}^{-n}{U}_{\mathrm{ref}}{f}_{\mathrm{t}}\geqq 2\pi {fU}_{\mathrm{m}}. $$
Die maximal zulässige Frequenz fmax der Eingangsspannung ergibt sich daraus zu
$$ {f}_{\mathrm{m}\mathrm{ax}}=\frac{2^{-n}}{2\pi}\cdot \frac{U_{\mathrm{ref}}}{U_{\mathrm{m}}}{f}_{\mathrm{t}}. $$

Für einen 10-bit-Umsetzer (n = 10) beträgt bei einer Taktfrequenz ft von 1 MHz und bei einer Amplitude von \( {U}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}{U}_{\mathrm{ref}} \) des Wechselanteils der Eingangsspannung die maximal zulässige Frequenz der Eingangsspannung etwa 310 Hz.

Kleinen Änderungen der Eingangsspannung kann ein Nachlaufumsetzer sogar schneller folgen als die seriellen Umsetzer, die in jeder Taktperiode ein Bit des digitalen Ausgangssignals bilden, wie z. B. der ADU mit sukzessiver Approximation.

5.5 Analog-digital-Umsetzer mit sukzessiver Approximation

Unter den Verfahren der Analog-digital-Umsetzung ist die Methode der sukzessiven Approximation sehr verbreitet. Diese Umsetzer gehören zu den seriellen Umsetzern mit Taktsteuerung, bei denen in jeder Taktperiode eine Stelle des digitalen Ausgangssignals D gebildet wird (one bit at a time). Bei einem n-bit-Umsetzer sind also n Schritte zur Umsetzung notwendig. Das Blockschaltbild eines ADUs nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation ist in Abb. 19a dargestellt.
Abb. 19

Analog-digital-Umsetzer mit sukzessiver Approximation. a Prinzip, b Ablaufdiagramm

Die Umsetzung beginnt mit dem Versuch, in die höchste Stelle eine logische Eins einzuschreiben. Ist die Ausgangsspannung Uv des DAU kleiner als die umzusetzende Eingangsspannung Ux, so bleibt diese Eins erhalten. Ist jedoch Uv > Ux, dann ist der Ausgang des Komparators erregt und die Stufe wird auf null zurückgesetzt.

Dieses Vorgehen wird nun mit der nächstniedrigeren Stelle fortgesetzt und schließlich mit der niedrigsten Stelle abgeschlossen. Nach jedem Schritt wird die Ausgangsspannung Uv des DAU mit der analogen Eingangsspannung Ux verglichen. Wird die Spannung Ux nicht überschritten, so verbleibt die Eins in der bistabilen Kippstufe BK. Bei Überkompensation jedoch wird die Kippstufe auf null zurückgesetzt (Abb. 19b).

Die Ablaufsteuerung wird mit einem Schieberegister (SAR, successive approximation register) ausgeführt, das sowohl das UND-Gatter zur Löschung der Kippstufen bei Überkompensation freigibt, als auch das Setzen der Kippstufe der nächstkleineren Stelle übernimmt. Die monostabile Kippstufe MK verzögert das Signal des Komparators genügend lange, damit das Einschwingen von Übergangsvorgängen abgewartet werden kann.

Im Abb. 19 ist am Beispiel einer Eingangsspannung von Ux = 7,014 V bei einer Referenzspannung Uref von 10,24 V der Anfang der Umsetzung dargestellt.

Schnelle Umsetzer nach diesem Prinzip arbeiten mit einer Taktfrequenz von 1 MHz. Dies entspricht einer Taktperiode von 1 μs. Für die Umsetzung eines 10-stelligen Signals (10 Bits) werden dann 10 μs benötigt.

6 Schnelle Analog-digital-Umsetzung und Transientenspeicherung

Für die Analog-digital-Umsetzung schneller Vorgänge sind Umsetzer mit entsprechend hoher Umsetzungsgeschwindigkeit erforderlich. Laufzeitumsetzer arbeiten seriell wie die ADUs mit sukzessiver Approximation, besitzen aber keine Taktsteuerung. Ihre Umsetzzeit ist nur durch die Signallaufzeiten bestimmt und daher vergleichsweise niedrig. Besonders kleine Umsetzzeiten werden mit den simultan arbeitenden Parallelumsetzern (flash converter) erreicht. Ein guter Kompromiss zwischen Aufwand und Umsetzzeit sind die Serien-Parallel-Umsetzer. Schnelle ADUs werden bei der Umsetzung von Videosignalen, besonders auch bei der sog. Transientenspeicherung in der Mess- und Versuchstechnik eingesetzt. Damit wird eine digitale Signalanalyse in Echtzeit oder auch in einem geeignet gedehnten Zeitmaßstab ermöglicht.

6.1 Parallele Analog-digital-Umsetzer (Flash-Converter)

Die höchsten Umsetzungsgeschwindigkeiten können mit den simultan arbeitenden Parallelumsetzern erreicht werden. Der Aufwand wächst etwa proportional mit der Zahl der Quantisierungsstufen. Wie in Abb. 20a gezeigt, sind für 2n Quantisierungsstufen 2n − 1 Komparatoren K notwendig, die die analoge Eingangsspannung Ux gegen 2n − 1, z. B. linear gestufte, Referenzspannungen vergleichen.
Abb. 20

Paralleler Analog-digital-Umsetzer. a Blockschaltbild, b Übertragungskennlinie

Die Ausgangssignale Ai der Komparatoren sind logisch null, wenn die Eingangsspannung Ux kleiner als die entsprechende Referenzspannung Uref i ist. Sie sind logisch eins für Ux > Uref i. Über einen Codeumsetzer erfolgt die Codeumsetzung in den Dualcode. Für einen Parallelumsetzer mit acht Dualstellen am Ausgang sind 255 Komparatoren nötig.

Für einen Umsetzer mit drei Dualstellen ist in Abb. 20b der Zusammenhang zwischen dem Dualzahl-Ausgangssignal und der auf die Referenzspannung Uref bezogenen Eingangsspannung Ux dargestellt. Die Tabelle beschreibt die Codierungsvorschrift (den Code) zwischen den Komparatorausgangssignalen Ai und dem Dualzahlsignal D.

Mit den heute verfügbaren Integrationstechniken ist der Aufbau von Parallelumsetzern mit 10 bit Auflösung möglich. Dabei müssen also 1023 Komparatoren und die erforderlichen Bauelemente zur Erzeugung der Referenzspannungen, die Umcodierung sowie der Ausgabespeicher auf einem Chip integriert werden. Dies bedeutet die Integration von über 60.000 Bauelementen auf einem Chip.

Typische Frequenzen bei diesen Flash-Convertern liegen etwa bei 100 MHz. Die zugehörigen Umsetzzeiten betragen also 10 ns.

6.2 Transientenspeicherung

Die Aufzeichnung der Vorgeschichte einmalig verlaufender Vorgänge ist durch die Verfügbarkeit schneller ADUs und preiswerter Halbleiterspeicher hoher Kapazität mithilfe von Transientenspeichern möglich geworden. In Verbindung mit einem Oszilloskop, einem Schreiber oder dem Bildschirm eines Digitalrechners als Ausgabegerät stellen diese Transientenrecorder einen Ersatz für Schnellschreiber und Speicheroszilloskope dar. Sie eignen sich vorzüglich für Aufgaben der Störwerterfassung und Messwertanalyse, da mit ihnen die Betriebszustände vor, während und nach der Störung mit genügend hoher Abtastrate und Auflösung aufgezeichnet werden können. Darüber hinaus sind Transientenrecorder wertvoll in Forschung und Entwicklung, wenn der Verlauf von Messsignalen bei nicht reproduzierbaren Versuchen aufgezeichnet werden soll.

Gewöhnlich werden in einem Transientenrecorder über schnelle ADUs die interessierenden Signale mit Abtastfrequenzen im MHz-Bereich abgetastet – die besten modernen Geräte erreichen auch über 1 GHz –, digitalisiert und in einen 10- bis 20-stelligen Schieberegisterspeicher bitparallel eingeschrieben (Abb. 21).
Abb. 21

Prinzip des Transientenspeichers

Der Halbleiterspeicher besitzt heute in der Regel eine Kapazität von mehreren 100 MiB bis zu einigen GiB. Wenn er voll ist, gehen die jeweils zuerst eingespeicherten Datenworte (2 B bei 10- bis 16-bit-ADUs, 4 B bei höher auflösenden ADUs) verloren. Man kann die Daten zwar auch in den Speicher oder auf die Festplatte eines Digitalrechners schreiben, der mit dem Transientenrecorder verbunden ist, aber wegen der begrenzten Übertragungsgeschwindigkeit üblicher Rechnerbusse lässt sich dies nicht in Echtzeit durchführen. Letztlich spielen ökonomische Überlegungen eine Rolle: der On-board-Speicher eines Transientenrecorders ist schnell, aber teuer, eine Festplatte ist billig, aber langsam.

Ein Triggersignal stoppt beim Auftreten eines bestimmten Ereignisses nach Ablauf einer einstellbaren Verzögerungszeit tv das Einspeichern weiterer Werte in den Speicher. Dieses Triggersignal kann von einem bestimmten Pegel des aufzuzeichnenden Signals selbst abgeleitet oder über andere Startkriterien ausgelöst werden, die das Auftreten von Anomalien oder Überschreiten zulässiger Grenzwerte anzeigen.

Mit einem variablen Auslesetakt kann dann der Transientenspeicher repetierend abgefragt werden. Mit einer erhöhten Taktfrequenz ist es so möglich, langsame Vorgänge flimmerfrei mit einem nichtspeichernden Oszilloskop darzustellen oder einen sehr schnellen Vorgang mit hoher Auflösung auf einem einfachen Schreiber aufzuzeichnen, wenn dazu die Taktfrequenz entsprechend erniedrigt wird.

Ähnlich wie bei anderen Signalanalysatoren wird durch eine kleine Verzögerungszeit nach dem Triggerereignis eine sog. Pretriggerung und durch eine größere Verzögerungszeit eine sog. Posttriggerung erreicht, d. h., es wird der Signalverlauf vor bzw. nach dem Triggerereignis ausgewählt.

Auf dem Raster-Scanner-Prinzip basiert ein extrem schneller Transientendigitalisierer. Ein Signal mit maximal 6 GHz Bandbreite wird auf ein Siliziumplättchen projiziert und hinterlässt eine Spur, die digital abgelesen wird. Für derartige Geräte besteht Bedarf u. a. in der Teilchenphysik und bei digitalen Kommunikationssystemen.

Transientenrecorder entwickeln sich immer mehr zu rechnergestützten Messsystemen und ähneln darin modernen Digitaloszilloskopen. Im Vergleich zu Oszilloskopen ist bei ihnen das Hauptaugenmerk nicht auf die grafische Ausgabe der Messwerte gerichtet, und sie erlauben die gleichzeitige Erfassung von viel mehr Kanälen (bis zu einigen hundert).

7 Delta-Sigma-Umsetzer

In seiner einfachsten Form besteht der Delta-Sigma-Umsetzer aus einem Integrierer, einem Komparator und einem 1-bit-DAU (Abb. 22). Die Ausgangsspannung Uref des DAU wird von der umzusetzenden Eingangsspannung Ux subtrahiert. Die Differenz (Messabweichung) UrefUx wird integriert und von einem 1-bit-ADU (Komparator) in eine einstellige Dualzahl D1 (0 oder 1) umgesetzt. D1 stellt die Eingangsgröße des 1-bit-DAU dar, aus der die nächste Ausgangsspannung Uref gebildet wird usw. Der gesamte Vorgang wird mit einer sehr hohen Rate wiederholt, viel höher als die höchste in Ux enthaltene Frequenz erfordern würde. Die zeitliche Folge der D1 ergibt einen Strom von Nullen und Einsen, wobei die Dichte der Einsen dem Wert von Ux entspricht. Durch Digitalfilterung und Dezimierung wird aus dem Bitstrom das duale Umsetzergebnis D gebildet.
Abb. 22

Einfachste Struktur eines Delta-Sigma-Umsetzers

Wegen der hohen effektiven Abtastrate, die die nach dem Shannon’schen Abtasttheorem für die Digitalisierung von Ux erforderliche Abtastrate um zwei Größenordnungen übersteigen kann, sind die Anforderungen an das Antialiasing-Filter vor einem Delta-Sigma-Umsetzer viel geringer als bei anderen ADUs. Ein weiterer Vorteil ist, dass durch das Verfahren das niederfrequente Quantisierungsrauschen gedämpft wird. Zwar werden Rauschanteile bei höheren Frequenzen verstärkt, aber diese liegen außerhalb des interessierenden Frequenzbereichs und können daher leicht durch das Digitalfilter hinter dem Komparator entfernt werden (noise shaping). Insgesamt lassen sich dadurch niederfrequente Signale mit hohem Signal-zu-Rausch-Abstand umsetzen. Delta-Sigma-Umsetzer spielen deshalb eine Rolle als schmalbandige, hochauflösende ADUs für Präzisionsmessungen. Einer ihrer Nachteile ist der Zeitverzug zwischen einem Eingangsspannungswert und der Verfügbarkeit des Umsetzergebnisses; er ist größer als bei anderen ADUs.

Weiterführende Literatur

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Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Lehrstuhl für Mess- und RegeltechnikUniversität BayreuthBayreuthDeutschland
  2. 2.Universität der Bundeswehr MünchenNeubibergDeutschland

Section editors and affiliations

  • Birgit Skrotzki
    • 1
  1. 1.Experimental and Model Based Mechanical Behaviour of MaterialsBundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM)BerlinGermany

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