Soluzione degli esercizi

Estratto

a ^-1 b e ba ^-1 risolvono le due equazioni. Viceversa, se ax = a ha soluzione, esiste e _d tale che ae _d = a; se b ∈ G, allora b = ya per un certo y, e quindi be _d = (ya)e _d = y(ae _d ) = ya = b; e _d è dunque neutro ”a destra” per ogni b ∈ G, e analogamente esiste e _s , neutro a sinistra. Moltiplicando i due elementi si ha e _s e _d = e _s , e _s e _d = e _d ; e la ii). Per la iii), risolvendo ax = e e ya = e, se ax = az si ha y(ax) = y(az) da cui (ya)x = (ya)z cioè ex = ez e x = z, per cui l’”inverso destro” è unico, e analogamente quello sinistro. Se ax = e, allora xa = exa = yaxa = y(ax)a = yea = ya = e, e dunque ax = e = xa