Campi di spezzamento

Riassunto

Il Teorema Fondamentale dell’Algebra ci assicura che ogni polinomio non costante a coefficienti in un campo numerico F ha tutte le sue radici nel campo ℂ dei numeri complessi. Quindi, se le radici complesse distinte del polinomo f(X) ∈ F[X] sono α₁,..., α _s , in ℂ[X] risulta

$$ f(X) = c(X - \alpha _1 )^{m_1 } ...(X - \alpha _s )^{m_s } ,$$

dove m _i è la molteplicità della radice α _i e m₁ + ··· + m _s = deg f(X) (Teorema 2.4.2). Il campo F(α₁,..., α _s ) è allora il più piccolo campo numerico contenente F su cui f(X) si spezza in fattori lineari.