Linksinvariante Vektorfelder

Zusammenfassung

Bei dem Begriff einer abstrakten Lie-Gruppe in Definition 9.10 hatten wir auβer einer Einsumgebung U auch alle anderen Umgebungen U ^L _g= gU und U ^R _g = Ug betrachtet. Damitübertragen sich die lokalen analytischen Eigenschaften der Gruppe in einer Umgebung des Einselements auf einer Umgebung jedes anderen Elements in gleicher Weise. Dies ist eine Besonderheit von Gruppen, weil die Multiplikation mit einem festen Element (von links oder von rechte) stets eine Bijektion der Gruppe auf sich induziert. Man nennt diese die Links-Translationen bzw. die Rechts-Translationen, je nachdem ob die Gruppe auf sich selbst von links oder von rechts operiert. Wirkliche Translationen im klassischen Sinne sind diese freilich nur im Falle von kommutativen Gruppen, z.B. für G = ℝ ⁿ als additive Gruppe. Im Falle einer Lie-Gruppe ist jede solche Bijektion darüber hinaus stetig differenzierbar. Und daher bewirkt deren Ableitung einen Transport von Tangentialvektoren von jedem Punkt in jeden anderen.