Die adjungierte Darstellung und die Lie-Klammer

Zusammenfassung

In diesem Kapitel sollen die Ergebnisse von Kapitel 7 auf den Fall von abstrakten Lie- Gruppen übertragen werden. Insbesondere erklären wir eine abstrakte Lie-Algebra, die in derselbenWeise und mit denselbem Gesetzen einer abstrakten Lie-Gruppe zugeordnet ist wie der Tangentalraum im Einselement einer Gruppe von Matrizen in 7.14. Es sei also in diesem Kapitel G eine reelle oder komplexe Lie-Gruppe mit Tangentialraum T _x G an G in x, und g := T ₁ G bezeichne den Tangentialraum an G im Einselement 1. Dieser wird auch als die zugehörige Lie-Algebra bezeichnet, so wie in Kapitel 7 für Matrizengruppen. Dass g tatsächlich eine Lie-Algebra im Sinne von Definition 7.19 ist, muss erst noch gezeigt werden. Dies ist der Inhalt von Satz 10.7.