Die Gesetze der großen Zahlen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist unter verschiedenen Aspekten von Bedeutung. Es beginnt in Abschnitt 8.1 mit einer überraschenden Tatsache: Wenn auch im Allgemeinen Wahrscheinlichkeiten beliebige Werte in [ 0, 1 ] annehmen können, so gibt es doch Situationen, bei denen man garantieren kann, dass nur einer der extremen Werte – also Null oder Eins – vorkommen wird. Wichtigster Vertreter dieser so genannten Null-Eins-Gesetze sind die Lemmata von Borel-Cantelli, die hier bewiesen werden. Sie werden in den weiteren Abschnitten eine wichtige Rolle spielen. In Abschnitt 8.2 lernen wir das schwache Gesetz der großen Zahlen kennen: Mittelwerte von unabhängigen Zufallsvariablen tendieren dazu, mit hoher Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Erwartungswertes zu liegen. Es folgt aus der Tschebyscheff-Ungleichung, ein Ergebnis, das auch eine große praktische Bedeutung hat. Wie viele Leute muss man zum Beispiel danach fragen, was sie am nächsten Sonntag wählen würden, um eine zuverlässige Wahlprognose erstellen zu können?