Lp-Dualität

Zusammenfassung

Bereits in Sektion 4.2 haben wir gesehen, dass die Kegelbedingung aus Bemerkung 4.2.28 zur Charakterisierung von Optimalpunkten linearer Optimierungsaufgaben zu einer neuen, ‘dualen’ linearen Optimierungsaufgabe führt; vgl. Korollar 4.2.38.

In diesem Kapitel untersuchen wir die Dualität linearer Programme auf verschiedene Weisen. Zunächst vertiefen wir die hergeleiteten Zusammenhänge, formulieren den allgemeinen Dualitätssatz und ziehen Folgerungen für die Komplexität der linearen Optimierung. Danach behandeln wir als Anwendungsbeispiel eine Problemstellung der diskreten Tomographie. Wir beenden Sektion 6.1 mit der Herleitung eines Sattelpunktkriteriums und eines Minimax-Satzes für lineare Programme. In Sektion 6.2 und 6.3 zeigen wir die Kraft der Dualität dann zunächst an einem ausführlichen Beispiel zur Klassifikation großer Datenmengen, danach an verschiedenen Facetten der Analyse ökonomischer Aktivitäten.

Anschließend leiten wir in Sektion 6.4 eine duale Version des Simplex-Algorithmus her, die es ermöglicht, mit einer Teilmenge aller Restriktionen zu starten und im Laufe des Verfahrens sukzessive weitere hinzuzunehmen. Als ‘Nebenprodukt’ erhalten wir eine strukturierte Tabellendarstellung des (dualen) Simplex-Algorithmus (Tableauform), die es gestattet, aktuell vorhandene Informationen effizient zur Durchführung des nächsten Schritts zu nutzen. Hierbei wird die Beziehung zur Gauß-Elimination besonders deutlich.

In Sektion 6.5 leiten wir ein direkt auf dem Wechselspiel zwischen primalen und dualen Betrachtungen beruhendes generelles primal-duales Verfahren her. Es wird anschließend zur Verdeutlichung seiner Wirkungsweise auf das bereits in Sektion 3.2 behandelte Problem kürzester Wege angewendet.