Galerkin-FEM für Anfangsrandwertaufgaben

Zusammenfassung

Anfangsrandwertaufgaben (ARWA) sind uns bereits im Kapitel 2 in Form des instationären Wärmeleitproblems begegnet. Das instationäre Wärmeleitproblem ist der Prototyp einer parabolischen ARWA. Wir werden im Abschnitt 7.2 auch hyperbolische ARWA betrachten. Die Wellengleichung und die Schwingungsgleichung sind Prototypen hyperbolischer partieller Differentialgleichungen. Durch die Wellengleichung kann zum Beispiel das Ausbreiten von Druckwellen in der Akustik modelliert werden. Die Schwingungsgleichung spielt in der Mechanik zur Beschreibung der Dynamik schwingender Systeme eine wichtige Rolle. Mit der Linienmethode ersetzen wir die ARWA durch eine semidiskrete Ersatzaufgabe. Im Fall einer parabolischen ARWA ist das eine Anfangswertaufgabe (AWA) für ein großdimensioniertes System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung zur Bestimmung der zeitabhängigen Koeffizienten im Galerkin-Ansatz (siehe Abschnitt 7.1). Entsprechend ergeben hyperbolische ARWA ein großdimensioniertes System gewöhnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung (siehe Abschnitt 7.2). Die Standardmethoden zur Lösung dieser Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen führen wir sofort in den entsprechenden Abschnitten 7.1 und 7.2 ein. Im parabolischen Fall sind diese Standardmethoden in einer Familie von Q-gewichteten, zweischichtigen Differenzenschemata eingebettet. Die explizite Euler-Methode (σ = 0), das Crank-Nicolson-Verfahren (σ = 1/2) und die implizite Euler-Methode (σ = 1) sind sicherlich die bekanntesten Zeitintegrationsverfahren aus dieser Familie. Im hyperbolischen Fall geben wir ebenfalls eine Familie von σ-gewichteten, dreischichtigen Differenzenschemata an. In der Ingenieurpraxis sind allerdings die sogenannten Newmark-Schemata zur Zeitintegration von AWA, die bei der FE-Diskretisierung von hyperbolischen ARWA mittels Linienmethode entstehen, sehr populär. Deshalb stellen wir diese zweiparametrische Familie von Zeitintegrationsschemata ebenfalls am Ende dieses Kapitels kurz vor. Ein systematischer Überblick über die wichtigsten Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen und Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen wird im nächsten Kapitel gegeben.