Zusammenfassung
Ein Konstruktivismus in der Philosophie der Mathematik geht von folgender ontologischen Grundannahme aus
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Notes
- 1.
Ein schönes Beispiel finden wir in der Funktionalanalysis. Sei \(l^1\) der Raum absolut summierbarer Folgen reeller Zahlen und \(l^{\infty }\) der Raum der beschränkten reellen Folgen. Der Raum \(l^1\) lässt sich in den Dualraum von \(l^{\infty }\), d. h. in den Raum der linearen Funktionale auf \(l^\infty \), einbetten. Elemente, die im Dualraum von \(l^{\infty }\), aber nicht \(l^1\) sind, existieren, wenn man das Auswahlaxiom annimmt, lassen sich aber nicht konstruieren. Siehe hierzu Schechter (1997).
- 2.
Siehe hierzu auch Abschn. 6.3.
- 3.
Wir geben hier nur eine kurze Einführung in die Theorie der Berechenbarkeit und verweisen für Details auf die einschlägige Fachliteratur in der theoretischen Informatik, wie etwa Hoffmann (2011).
- 4.
Siehe hierzu Calude und Dinneen (2007).
- 5.
Siehe Turing (1936).
- 6.
Eine diophantische Gleichung ist durch \(f(x_{1},\dots , x_{n})=0\) für eine Polynomfunktion f mit ganzzahligen Koeffizienten gegeben. Gesucht werden ganzzahlige Lösungen \((x_{1},\dots , x_{n})\). Ein Beispiel ist die Pell’sche Gleichung \(x_{1}^2-dx_{2}^2-1=0\). Der russische Mathematiker Yuri Matijassewitsch (1947–) bewies, dass die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen unentscheidbar ist, siehe Matijassewitsch (1993).
- 7.
Siehe hierzu Cooper (2004).
- 8.
Siehe Markov (1954).
- 9.
Siehe Specker, E. (1949).
- 10.
Siehe Bishop (1967).
- 11.
Siehe hierzu zum Beispiel Mines et al. (1988) und Picado und Pultr (2011).
- 12.
Siehe Martin-Löf, P. (1973).
- 13.
Siehe Aczel und Rathjen (2001).
- 14.
Dies ist der Satz von Diaconescu-Goodman-Myhill, siehe van Dalen (1999) und Goodman und Myhill (1978).
- 15.
Siehe hierzu Kap. 1 in Neunhäuserer (2015).
- 16.
Siehe wieder Kap. 1 in Neunhäuserer (2015).
- 17.
Siehe hierzu Bauer (1998).
- 18.
Siehe hierzu Neunhäuserer (2015) oder Lehrbücher zur allgemeinen Topologie.
- 19.
Eine Einführung in den komplizierten Beweis bietet Faltings (1995).
- 20.
Seit 1983 wird die Lichtgeschwindigkeit in der Physik zwar durch einen konstanten rationalen Wert definiert, diese Definition ist jedoch nicht vor Revisionen gefeit. Zum Beispiel folgt aus der Theorie der Schleifenquantengravitation, dass die Geschwindigkeit eines Photons nicht als Konstante definiert werden kann, da ihr Wert von der Photonfrequenz abhängt.
- 21.
Siehe Mohr et al. (2008).
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Neunhäuserer, J. (2019). Konstruktivismus. In: Einführung in die Philosophie der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-59555-8_9
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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