Zusammenfassung
Wir werden in diesem Abschnitt die grundlegende Idee des Strukturalismus in der Philosophie der Mathematik vorstellen. Dazu müssen wir zunächst erläutern, was eine Struktur ist. Betrachten wir ein System, das aus einer Zusammenfassung von Gegenständen und aus Relationen zwischen diesen Gegenständen besteht.
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Notes
- 1.
Siehe hierzu Stegmüller (1978).
- 2.
Siehe hierzu Benacerraf (1965).
- 3.
Siehe Shapiro (1997) und Resnik (1997).
- 4.
Wir beschreiben dieses Axiomensystem im Anhang (Kap. 13).
- 5.
Es ist eine recht technische Angelegenheit, dies zu präzisieren. Zwei Systeme \((A,\{R_{i}~|~i\in I\})\) und \((\tilde{A},\{\tilde{R}_{j}~|~j\in J\})\) sind isomorph, wenn es Bijektionen \(f:A\rightarrow \tilde{A}\) und \(g:I\rightarrow J\) gibt, sodass: \((a_{1},\dots , a_{n_{i}})\in R_{i}\) genau dann, wenn \((f(a_{1}),\dots , f(a_{n_{i}}))\in \tilde{R}_{g(i)}\).
- 6.
Wir kommen auf dieses Thema in Abschn. 12.4 zur Kategorientheorie noch einmal zurück.
- 7.
Diese Nomenklatur findet sich in Shapiro (1997) und scheint allgemein gebräuchlich zu sein.
- 8.
Siehe hierzu wieder Stegmüller (1978).
- 9.
Betrachtet man zu einer Menge M die Potenzmenge P(M), d. h. die Menge aller ihrer Teilmengen, so hat diese größere Kardinalität als M. Gehen wir von den natürlichen Zahlen aus, so beschreibt \(|\mathbb {N}|<|P(\mathbb {N})|<|P(P(\mathbb {N}))|<|P(P(P(\mathbb {N})))|\dots \) eine unbeschränkte Folge von Kardinalitäten. Siehe hierzu Kap. 1 in Neunhäuserer (2015). Selbst wenn die reellen Zahlen mit der Kardinalität \(|P(\mathbb {N})|\) und auch die Menge aller Funktionen der reellen Zahlen in die reellen Zahlen mit der Kardinalität \(|P(P(\mathbb {N}))|\) im physikalischen Universum konkret realisiert sein sollten, ist nicht davon auszugehen, dass große Kardinalitäten konkret realisierbar sind. Schon für die Menge \(P(P(P(\mathbb {N})))\) behauptet dies, soweit uns bekannt, niemand.
- 10.
Siehe Benacerraf (1965) und Linnebo (2008).
- 11.
Wir verweisen hier wieder auf den Anhang des Buches.
- 12.
Siehe hierzu Hellman (1989).
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Neunhäuserer, J. (2019). Strukturalismus. In: Einführung in die Philosophie der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-59555-8_10
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-59555-8
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