Zusammenfassung
Die Differentialrechnung dient der Bestimmung der Tangente an eine Kurve in einem bestimmten Punkt. Beginnend mit dem Tangentenproblem von Leibniz werden die wesentlichen Regeln der Differentialrechnung mit Hilfe der hyperreellen Zahlen entwickelt. Das Kapitel schließt mit der Darstellung der ganz anderen Herangehensweise bei Newtons Fluxionsrechnung.
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Notes
- 1.
Der Limesbegriff wird standardmäßig ohne hyperreelle Zahlen anders begründet, liefert aber nichts anderes als der Begriff reeller Teil. Das hat den Vorteil, dass über diesen Namen die Berechnung eines reellen Teils auch mittels CAS erfolgen kann (Vgl. Abschn. 3.1.7).
- 2.
Bei infinitesimalem, von null verschiedenem h.
- 3.
Analog zur „horizontalen“ Abänderung h des x-Wertes werde die „vertikale“ Abänderung des zugehörigen Funktionswertes f(x) mit v bezeichnet, \(v:= f(x+h)- f(x)\).
- 4.
Diese Definition des Differentialquotienten \(\frac{\mathrm{{d}}y}{\mathrm{{d}}x}\) hat den Vorteil, dass dann mit den Differentialen \(\mathrm{{d}}x\) und \({\mathrm{d}y}\) bequem gerechnet werden kann, wovon im Folgenden intensiv Gebrauch gemacht wird. Man kann die Ableitung auch als \(\mathrm {RT}(\frac{\mathrm{{d}}y}{\mathrm{{d}}x})\) definieren, wenn man Leibniz in dieser Hinsicht möglichst originalgetreu folgen möchte. Dann muss häufig an Stelle von „=“ die Relation „\(\simeq \)“ verwendet werden.
- 5.
Die Voraussetzungen hinsichtlich der Definitionsbereiche der beteiligten Funktionen werden hier wie bei allen anderen Differentiationsregeln weggelassen.
- 6.
Die rekursive Definition gilt auch für hypernatürliche Exponenten.
- 7.
Diese Methode ist zu empfehlen, wenn man die Kettenregel vergessen hat, die natürlich auch benutzt werden könnte.
- 8.
Zur Schreibweise: \({\mathop {f}\limits ^{-1}}\), gesprochen „f oben minus 1“, bedeutet Umkehrfunktion zu f.
- 9.
Bei der Funktion \(\mathop {\text {id}}\) handelt es sich um die Identitätsfunktion, die jedes x auf sich selbst abbildet, also \(\mathop {\text {id}}(x)=x\) (vgl. Beispiel 3.3).
- 10.
Die Elimination zeigt, dass die Verkettung \(x \longmapsto t \longmapsto y\) genutzt wird.
- 11.
Siehe auch Beispiel 3.27.
- 12.
Alternativ ist es hier auch möglich, y(t) zu differenzieren.
- 13.
Andere denkbare Konstellationen benötigen keinen neuen Beweisgedanken.
- 14.
An den Rändern des Intervalls kann natürlich nur von einseitiger Differenzierbarkeit die Rede sein.
- 15.
Die zu j, z und \(j+1\) gehörigen Kurvenpunkte liegen bis auf einen im Verhältnis zu \(|x_{j+1}-x_j|\) infinitesimalen, also nicht st"orenden, Fehler auf einer Geraden.
- 16.
Diese Formulierung sei die Kurzform dafür, dass mögliche (vertikale) Unterschiede zwischen Gerade und Graph sogar bezüglich der bereits infinitesimal gewählten Umgebung erneut infinitesimal sind.
- 17.
Bei entsprechendem Vorgehen wie hier würde für die Bestimmung der Tangentengleichung \(y=m\cdot x+n\) ein 2 x 2-System entstehen, dessen Lösung die Werte für m und n sind. In Abschn. 3.1 wurde dagegen zunächst nur die Steigung m bestimmt.
- 18.
Die Kurve, auf der alle Mittelpunkte der Krümmungskreise liegen, nennt man die Evolute der Parabel. Im vorliegenden Falle ist die Evolute eine Neilsche Parabel.
- 19.
Der Ursprung des Koordinatensystems wird daher als Scheitelpunkt dieser Parabel bezeichnet.
- 20.
Für k gilt implizit \((x-x_M)^2+(k(x)-y_M)^2=r^2\).
- 21.
Sir Isaac Newton (1643–1727)
- 22.
Die Leibniz-Schreibweise wird benutzt, um mit den übrigen Abschnitten leichter vergleichen zu können.
- 23.
Dieser enge Zusammenhang zwischen Differentialen und Fluxionen hat zu dem unerfreulichen Prioritätenstreit zwischen Leibniz und Newton geführt.
- 24.
Die Zitate stammen aus Newton’s „The October 1666 Tract on Fluxions“ [1].
- 25.
Newton hatte den Binomischen Satz allgemeiner entwickelt.
- 26.
Als Zitat in englischer Sprache formuliert.
- 27.
Als infinitesimaler Anteil einer hyperreellen Zahl trägt sie zum reellen Teil nichts bei. Newton schrieb in diesem Zusammenhang intuitiv von „gerade verschwindenden Größen“. Das hat ihm den Spott von Bischof George Berkeley eingebracht: „May we not call them the ghosts of departed quantities?“
Literatur
Newton, I.: The October 1666 tract on fluxions. The newton project, Cambridge University Library, Cambridge, UK (2011). http://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/diplomatic/NATP00100. Zugegriffen: 6. Apr. 2018
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Baumann, P., Kirski, T. (2019). Differentialrechnung. In: Infinitesimalrechnung. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56792-0_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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