Analysis: Maß und Integration

Zusammenfassung

Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der Maßtheorie und der Integrationstheorie. Dieser Stoff wird zum Teil in einem Vorlesungszyklus zur Analysis behandelt, doch manche der Begriffe, die wir hier definieren, bleiben zumeist einer Spezialvorlesung über Maß- und Integrationstheorie vorbehalten. Wir beginnen mit der Definition des Riemann-Integrals und des Riemann-Stieltjes-Integrals durch Ober- und Untersummen sowie der Bestimmung der Stammfunktion zur Berechnung von Integralen. Dabei stellen wir eine Vielzahl wichtiger Integrale vor. Im nächsten Abschnitt finden sich die Beschreibungen grundlegender maßtheoretischer Konzepte wie σ-Algebren, Messräumen, Maßräumen und äußerer sowie signierter Maße. Wesentliche Beispiele sind das Dirac-Maß, das Laplace-Maß, das Lebesgue-Maß, das Lebesgue-Stieltjes-Maß und das Hausdorff-Maß. Danach beschäftigen wir uns kurz mit messbaren Abbildungen, Bildmaßen und der maßtheoretischen Isomorphie von Räumen, um dann zur Integrationstheorie von Lebesgue überzugehen. Außer dem Lebesgue-Integral definieren wir absolute stetige Maße und deren Dichten sowie singuläre Maße. Der Leser findet auch hier erläuternde Beispiele. Die letzten beiden Abschnitte des Kapitels sind Anwendungen der Integrationstheorie gewidmet. Wir definieren zunächst Fourier-Reihen und die Fourier-Transformierte und zeigen Beispiele, die auch in den empirischen Wissenschaften relevant sind. Der letzte Abschnitt behandelt Kurven- und Oberflächenintegrale, die unter anderem der Berechnung von Länge und Flächeninhalten dienen.