Zusammenfassung
Die allgemeine Lösung der Balance- und Randbedingungen kann als Summe aus einer speziellen Lösung der Balancebedingungen und aus der allgemeinen „gewichtslosen Lösung“ der Balance- und Randbedingungen für „gewichtslose Spannungstensorfelder“ aufgebaut werden. Damit ist die allgemeine Lösung bekannt, da sowohl spezielle Lösungen der Balancebedingungen als auch die allgemeine „gewichtslose Lösung“ bekannt sind. Besteht die Randfläche bekannter Randspannungen nur aus der einfach zusammenhängenden freien Oberfläche, was bei Landgletschern in der Regel der Fall ist, dann lässt sich die allgemeine Lösung aus drei ausgewählten Komponenten des Spannungstensors oder des deviatorischen Spannungstensors gewinnen, die im Rahmen der allgemeinen Lösung als beliebige Funktionen genommen werden können.
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Notes
- 1.
Das ist gemäß (6.9) die allgemeine Form gewichtsloser Spannungstensorfelder.
- 2.
- 3.
S. Abb. Abb. 7.1c,d.
- 4.
- 5.
- 6.
Die Berechnung von \(\mathbf{A}_{\ast\ast}\) und \(\mathbf{T}_{\ast\ast}\) erfolgt in Abschn. 16.2.
- 7.
Man kann sich in (8.1) auf symmetrische Matrixfelder \(\mathbf{A}_{0}\) beschränken, da ihre antisymmetrischen Bestandteile keine Beiträge zu \(\mathbf{T}_{0}\) liefern.
- 8.
Die möglichen Normierungen und ihre Voraussetzungen werden in Abschn. 7.4 dargelegt.
- 9.
Die beliebigen Variationen von Matrixfeldern \(\mathbf{A}_{0}\) stehen definitionsgemäß unter der Einschränkung, dass alle Matrixfelder \(\mathbf{A}_{0}\) zusammen mit ihren ersten Ableitungen auf der Randfläche \(\Upsigma\) gegebener Randspannungen verschwinden. Dabei kann man sich auf normierte Variationen beschränken, wenn die entsprechenden Normierungsvoraussetzungen erfüllt sind.
- 10.
Wie bereits erwähnt, ist die Auswahl einer realistischen Lösung nicht mehr Gegenstand dieser allgemeinen Untersuchung. Eine solche Auswahl kann nur von Fall zu Fall erfolgen und erfordert spezielle, vor Ort erhobene Daten.
- 11.
S. Abschn. 7.4.
- 12.
S. Ziff. 4, Abschn. 8.1.
- 13.
Der Index „0“ bedeutet, dass sich \(\mathbf{T}_{0}\) aus einer Spannungsfunktion \(\mathbf{A}_{0}\) gewinnen lässt, die zusammen mit ihren ersten Ableitungen an der freien Oberfläche \(\Upsigma\) verschwindet. Somit verschwinden die Randspannungen von \(\mathbf{T}_{0}\) an der freien Oberfläche \(\Upsigma\). Gemäß Voraussetzung ist \(\mathbf{A}_{0}\) normiert.
- 14.
Dazu geht man von irgend einer speziellen Lösung \(\mathbf{S}_{\text{spez}}\) aus und subtrahiert eine gewichtslose Lösung \(\mathbf{T}_{0}\), für deren unabhängige Spannungskomponenten man die entsprechenden Komponenten von \(\mathbf{S}_{\text{spez}}\) einsetzt.
- 15.
Das gilt wegen der Relation (8.6) auch für unabhängige deviatorische Komponenten.
- 16.
- 17.
Eine Analyse sämtlicher Kombinationsmöglichkeiten von jeweils drei unabhängigen Spannungskomponenten wird in Kap. 17 durchgeführt.
- 18.
\(\mathbf{S}_{\ast}\) und \(\mathbf{T}_{0}\) werden in Kap. 17 für jede der Kombinationen „a“ bis „h“ angegeben.
- 19.
S. Kap. 17.
- 20.
Die Formelnummern für \(\mathbf{S}_{\ast}\) und \(\mathbf{T}_{0}\) sind in Tab. 8.1 genannt.
- 21.
- 22.
- 23.
S. Abschn. 3.4.3.
- 24.
- 25.
Diese beiden Alternativen schließen sich gegenseitig aus. Die freie Oberfläche \(\Upsigma\) kann nicht sowohl zum Modellkegel \(K^{\prime}_{yxz}\) als auch zum Modellkegel \(K^{\prime\prime}_{yxz}\) quer und synchron sein, da \(K^{\prime}_{yxz}\) den Kegelvektor \(-\mathbf{e}_{x}+\sqrt{2}\mathbf{e}_{z}\) enthält und \(K^{\prime\prime}_{yxz}\) den dazu entgegengesetzten Kegelvektor \(\mathbf{e}_{x}-\sqrt{2}\mathbf{e}_{z}\). S. Kap. 17.
- 26.
S. Abschn. 3.4.1.
- 27.
S. Ziff. 2, Abschn. 3.1.
- 28.
Bei den Berechnungen der Matrixelemente in einem Punkt kommen Integraloperatoren oder Produkte von Integraloperatoren vor, die den jeweiligen Abhängigkeitskegel definieren. S. Abschn. 3.3.
- 29.
Nicht nur die Werte der unabhängigen Spannungskomponenten sondern auch ihrer Ableitungen liefern Beiträge, es kommt also allgemein auf den gesamten Funktionsverlauf der unabhängigen Spannungskomponenten im Abhängigkeitskegel an.
- 30.
Die Abhängigkeitskegel für die Matrixelemente von \(\mathbf{T}_{0}\) und \(\mathbf{S}_{\ast}\) sind in Tab. 8.1 angegeben.
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Halfar, P. (2016). Die allgemeine Lösung der Balance- und Randbedingungen. In: Spannungen in Gletschern. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48022-9_8
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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