Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die „gewichtslosen Spannungstensorfelder“ mit vorgegebenen Randspannungen konstruiert, indem man unter allen „gewichtslosen Spannungstensorfeldern“ diejenigen auswählt, welche diese Randspannungen haben. Da die „gewichtslosen Spannungstensorfelder“ als zweite Ableitungen von beliebigen Matrixfeldern (Spannungsfunktionen) gegeben sind, wird diese Auswahl durch Identifikation passender Spannungsfunktionen getroffen. Diese Identifikation erfolgt durch Randbedingungen für die Randwerte der Spannungsfunktionen und ihrer ersten Ableitungen. Ist die Randfläche, auf der die Randspannungen vorgegeben sind, nicht einfach zusammenhängend, dann besteht der Teil der geschlossenen Berandung des zu betrachtenden Gletscherbereiches, auf dem keine Randspannungen vorgegeben sind, aus mehreren zusammenhängenden Flächen. Die unbekannten Kräfte und Drehmomente auf diesen Flächen treten in der allgemeinen Lösung als Parameter auf.
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Notes
- 1.
- 2.
Die Orientierungen dieser Kurven sind in Abb. 7.1 durch Pfeile dargestellt. Sie ergeben sich aus dem Umlaufsinn auf \(\partial\Upomega\), der entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn ist, wenn man von außen blickt und werden durch die nach außen zeigenden Normalenvektoren auf \(\partial\Upomega\) festgelegt.
- 3.
\(\mathbf{F}_{\Upsigma}\) und \(\mathbf{G}_{\Upsigma}\) sind bekannt, da sie durch die gegebenen Randspannungen \(\mathbf{t}\) definiert werden.
- 4.
Welche unter den zusammenhängenden Randflächen, auf denen keine Randbedingungen gestellt werden, man mit \(\Uplambda_{0}\) bezeichnet, spielt im Prinzip keine Rolle.
- 5.
Damit der Text nicht zu schwerfällig wird, werden in der folgenden Diskussion die Begriffe und ihre Symbole synonym verwendet.
- 6.
Wenn zwei \(\mathbf{T}\)-Lösungsmengen, die aus zwei \(\mathbf{A}\)-Lösungsmengen bzw. aus zwei \(\mathbf{A}\)-\(\partial_{n}\mathbf{A}\)-Randfeldern entstehen, ein \(\mathbf{T}\)-Feld gemeinsam haben, dann gibt es in jeder der beiden \(\mathbf{A}\)-Lösungsmengen ein \(\mathbf{A}\)-Feld, welches auf dieses \(\mathbf{T}\)-Feld führt, so dass sich diese beiden \(\mathbf{A}\)-Felder durch eine Redundanzfunktion \(\mathbf{A}^{\bullet}\) unterscheiden. Dann können die beiden \(\mathbf{A}\)-\(\partial_{n}\mathbf{A}\)-Randfelder durch Addition bzw. Subtraktion des \(\mathbf{A}\)-\(\partial_{n}\mathbf{A}\)-Randfeldes dieser Redundanzfunktion \(\mathbf{A}^{\bullet}\) ineinander umgewandelt werden, damit können auch beide \(\mathbf{A}\)-Lösungsmengen durch Addition bzw. Subtraktion dieser Redundanzfunktion \(\mathbf{A}^{\bullet}\) ineinander umgewandelt werden und daher sind die beiden \(\mathbf{T}\)-Lösungsmengen gleich.
- 7.
Die Randfelder \(\mathbf{B}_{\Upsigma}\) und \(\mathbf{C}_{\Upsigma}\) werden durch die Randwerte des \(\mathbf{A}\)-Feldes und seiner ersten Ableitungen ausgedrückt. Diese ersten Ableitungen lassen sich durch die Ableitungen des \(\mathbf{A}\)-Feldes parallel und senkrecht zur Randfläche \(\Upsigma\) ausdrücken, also durch Ableitungen des Randfeldes \(\mathbf{A}_{\Upsigma}\) parallel zur Randfläche und durch die Normalableitung \(\partial_{n}\mathbf{A}\). Damit sind sie durch die auf der Randfläche \(\Upsigma\) erklärten Funktionen \(\mathbf{A}_{\Upsigma}\) und \(\partial_{n}\mathbf{A}\) definiert.
- 8.
Der Beweis erfolgt in Abschn. 15.3.
- 9.
Begründung: Zwei \(\mathbf{B}\)-\(\mathbf{C}\)-Randfelder liegen genau dann in einer Klasse, wenn die zwei \(\mathbf{A}\)-\(\partial_{n}\mathbf{A}\)-Randfelder in einer Klasse liegen, aus denen sie entstehen und diese unterscheiden sich durch das \(\mathbf{A}\)-\(\partial_{n}\mathbf{A}\)-Randfeld einer Redundanzfunktion \(\mathbf{A}^{\bullet}\) , so dass sich die beiden \(\mathbf{B}\)-\(\mathbf{C}\)-Randfelder durch das \(\mathbf{B}\)-\(\mathbf{C}\)-Randfeld \(\mathbf{B}^{\bullet}_{\Upsigma}\), \(\mathbf{C}^{\bullet}_{\Upsigma}\) dieser Redundanzfunktion unterscheiden.
- 10.
- 11.
Gemeint sind die Umlaufintegrale der Randfelder \(\mathbf{B}_{\Upsigma}\) und \(\mathbf{C}_{\Upsigma}\), aus denen das jeweilige \(\mathbf{B}\)-\(\mathbf{C}\)-Randfeld besteht.
- 12.
- 13.
S. Abschn. 15.3.
- 14.
Die Pfadintegrale über die orientierten Randkurven \(\partial\Upgamma\) beliebiger Teilflächen \(\Upgamma\) der Randfläche \(\Upsigma\) stimmen voraussetzungsgemäß überein, da sie gleich den von den Randspannungen auf den Teilflächen \(\Upgamma\) erzeugten Kräften und Drehmomenten sind. Wegen der gleichen Randverteilung von Kräften und Drehmomenten müssen auch die Integrale über die Randkurven der zusammenhängenden Flächen übereinstimmen, auf denen keine Randbedingungen gestellt sind. Somit stimmen auch die Integrale über beliebige geschlossene Pfade auf der Randfläche \(\Upsigma\) überein.
- 15.
S. Abb. 7.2. Darin steht die Randverteilung von Kräften und Drehmomenten in Zeile 5 und alle Lösungen \(\mathbf{T}\), welche diese Randverteilung erzeugen, bilden die \(\mathbf{T}\)-Lösungsmenge in Zeile 1.
- 16.
S. Abb. 7.1a, b.
- 17.
- 18.
Dass man auf diese Weise alle derartigen Spannungstensorfelder \(\mathbf{T}_{0}\) erhält, folgt aus der Struktur der allgemeinen Lösung für den Fall verschwindender Randspannungen \(\mathbf{t}\). In diesem Fall passt das verschwindende \(\mathbf{A}\)-\(\partial_{n}\mathbf{A}\)-Randfeld in Zeile 3 von Abb. 7.2 zu verschwindender Randverteilung in Zeile 5 und somit ergibt sich die aus allen Feldern \(\mathbf{T}_{0}\) bestehende \(\mathbf{T}\) Lösungsmenge in Zeile 1 aus der \(\mathbf{A}\)-Lösungsmenge in Zeile 2, die aus allen \(\mathbf{A}\)-Feldern besteht, welche zusammen mit ihren ersten Ableitungen auf der Randfläche \(\Upsigma\) verschwinden.
- 19.
Diese \(\mathbf{T}\)-Lösungsmenge steht in Zeile 1 der Abb. 7.2. Sie entsteht aus einer \(\mathbf{A}\)-Lösungsmenge in Zeile 2. Diese \(\mathbf{A}\)-Lösungsmenge besteht aus allen \(\mathbf{A}\)-Feldern (7.14), die man durch alle Varianten von \(\mathbf{A}_{0}\)-Feldern erhält. Diese \(\mathbf{A}\)-Lösungsmenge in Zeile 2 passt zu der Randverteilung von Kräften und Drehmomenten in Zeile 5, welche durch die freien Parameter des Summanden \(\mathbf{A}_{\ast\ast}\) definiert wird.
- 20.
Die \(\mathbf{A}\)-Felder \(\mathbf{A}_{\ast}\) und \(\mathbf{A}_{\ast\ast}\) und ihre \(\mathbf{T}\)-Felder \(\mathbf{T}_{\ast}\) bzw. \(\mathbf{T}_{\ast\ast}\) werden in Kap. 16 berechnet.
- 21.
In diesem Fall unterscheiden sich die verschiedenen \(\mathbf{A}_{0}\)-Felder jeweils durch eine Redundanzfunktion (6.20), die zusammen mit ihren ersten Ableitungen auf der Randfläche \(\Upsigma\) verschwindet.
- 22.
Redundanzen treten auf, wenn sich verschiedene symmetrische \(\mathbf{A}_{0}\)-Felder durch eine symmetrische Redundanzfunktion (6.21) unterscheiden, die zusammen mit ihren ersten Ableitungen auf der Randfläche \(\Upsigma\) verschwindet.
- 23.
S. Abschn. 6.2.2.
- 24.
S. Abschn. 6.2.2.
- 25.
Eine Fläche und eine Richtung sind zueinander quer, wenn jede Gerade parallel zu dieser Richtung die Fläche höchstens einmal schneidet. Bei den Normierungsrichtungen bezeichnet x die Richtung parallel zur x-Achse usw.
- 26.
Das wird in Abschn. 14.3 gezeigt.
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Halfar, P. (2016). Gewichtslose Spannungstensorfelder mit Randbedingungen. In: Spannungen in Gletschern. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48022-9_7
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