Zusammenfassung
Dieses Kapitel beschreibt Gletscher im lokalen Schwimmgleichgewicht mit der allgemeinen Lösung der Balance- und Randbedingungen. Es beschreibt Eisberge mit ihren auf der gesamten Berandung bekannten Randspannungen sowie den sich daraus ergebenden Eigenschaften. Und es beschreibt schließlich horizontal isotrop-homogene, unendlich ausgedehnte Tafeleisbergmodelle mit den mathematisch exakten, eindeutigen Lösungen aller relevanten Bedingungen.
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Notes
- 1.
S. Abschn. 9.2.1.
- 2.
Es treten daher keine freien Parameter auf. S. Abschn. 8.1.
- 3.
- 4.
Dabei treten Redundanzen auf, da verschiedene \(\mathbf{A}_{0}\)-Matrixfelder auf das gleiche Spannungstensorfeld \(\mathbf{T}_{0}\) führen können (s. Abschn. 7.4).
- 5.
Es handelt sich um die auf den gesamten Eisberg angewandten Balancebedingungen (2.8) und (2.9), wobei die Schwerpunktsdefinition (2.7) verwendet wurde. Die Randspannungen \(\tilde{\mathbf{S}}\mathbf{n}\) sind durch den hydrostatischen Tensor \(\tilde{\mathbf{S}}\) (11.5) definiert, der in dem Halbraum oberhalb des Wasserspiegels verschwindet.
- 6.
Die fiktive Wassermenge füllt das Eisbergvolumen bis zur Höhe des Wasserspiegels.
- 7.
Das bedeutet, dass die Tensorfelder der Spannungen und der Verzerrungsraten invariant gegenüber horizontalen Verschiebungen und gegenüber Drehungen um eine vertikale Achse sind und dass die physikalischen Eigenschaften des Eises, also Dichte, Temperatur usw. horizontal homogen sind.
- 8.
Dieser Kandidatenstatus beruht auf der Vermutung, dass sich die eindeutige Lösung dieser Modelle als Grenzwert ergibt, wenn man von endlichen, horizontal homogenen Tafeleisbergen ausgeht und diese Tafeleisberge horizontal unbeschränkt wachsen lässt. Ein Beweis dieser Vermutung konnte nicht gefunden werden.
- 9.
Diese endlichen Modell-Tafeleisberge sollen horizontal homogene physikalische Parameter wie Eisdichte, Temperatur usw. haben. Die Spannungstensorfelder in diesen endlichen Tafeleisbergen sind jedoch wegen der vom seitlichen Rand ausgehenden Einflüsse nicht horizontal homogen.
- 10.
Die orientierte Flächennormale \(\mathbf{n}\) auf einer solchen Vorhangfläche wird durch ihren orientierten unteren Saum definiert. Diese Flächennormale \(\mathbf{n}\) ist das Vektorprodukt aus dem orientierten, tangentialen Einheitsvektor an den unteren Saum und aus dem Einheitsvektor \(\mathbf{e}_{z}\), der vertikal nach oben weist.
- 11.
Der Vektor \((\mathbf{a}+\mathbf{b})/2\) in Formel (11.31) führt vom Koordinatenursprung zum Mittelpunkt zwischen den Punkten \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\) und der Vektor \(\mathbf{b}-\mathbf{a}\) führt vom Punkt \(\mathbf{a}\) zum Punkt \(\mathbf{b}\).
- 12.
Bei einer geschlossenen Vorhangfläche fallen Anfangs- und Endpunkt ihres unteren Saumes zusammen.
- 13.
Die Begründung ist dieselbe wie bei dem unbegrenzten Modell-Tafeleisberg.
- 14.
Diese Annahme konnte nicht bewiesen werden und bleibt daher lediglich eine plausible Hypothese.
- 15.
- 16.
Zur übersichtlichen Symbolisierung der funktionalen Abhängigkeiten von den vertikalen Variablen z bzw. λ werden die gleichen Funktionssymbole verwendet. Beispielsweise wird die vertikale Variation des Schweredrucks p sowohl durch \(p(z)\) als auch durch \(p(\lambda)\) zum Ausdruck gebracht, wobei das Funktionssymbol \(p(\cdot)\) jeweils unterschiedliche Bedeutungen hat. (Um eine einheitliche Bedeutung zu erhalten, müsste man wegen \(z=h\cdot\lambda-\tilde{h}\) statt des einfachen Symbols \(p(\lambda)\) das umständlichere Symbol \(p(h\cdot\lambda-\tilde{h})\) verwenden.)
- 17.
Dieses Kompatibilitätstheorem ergibt sich auch aus Abschn. 14.1, mit \(\mathbf{D}=\mathbf{A}^{\bullet}_{+}\).
- 18.
- 19.
Das konkrete Fließgesetz hängt von der Eistemperatur ab, die auf verschiedenen horizontalen Ebenen verschieden sein kann. Deshalb kann das verallgemeinerte Fließgesetz von der vertikalen Koordinate λ explizit abhängen.
- 20.
Diese Bedingungen werden nicht weiter begründet sondern dadurch gerechtfertigt, dass das Fließgesetz des Eises (S. Abschn. 11.3.5.) diese Bedingungen erfüllt.
- 21.
Eine Zahlenfolge strebt definitionsgemäß gegen Unendlich, wenn die Folge ihrer Kehrwerte gegen Null konvergiert.
- 22.
Die Funktion χ wird durch die Funktion \(\Upphi\) des Fließgesetzes definiert. Diese Funktion χ ist eine verschachtelte Funktion und besteht aus der Umkehrfunktion der Funktion K 1 und der Funktion K 2. Diese Funktionen K 1, K 2 und χ sind monoton wachsend, verschwinden für verschwindendes Argument und ihr Wertebereich erstreckt sich von minus Unendlich bis plus Unendlich. Das folgt aus den Eigenschaften (11.62)–(11.64) der Funktion \(\Upphi\).
- 23.
Die Funktionen I 1 und I 1 werden in Abschn. 20.1 diskutiert.
- 24.
S. die ausführliche Begründung in Abschn. 20.2.
- 25.
Eine allgemeine Diskussion möglicher Fließgesetze wird von Serrin [5, S. 230–236] geführt.
- 26.
Der Parameter A hängt von der Temperatur und damit von der dimensionslosen vertikalen Koordinate λ ab.
- 27.
S. Abschn. 11.3.4.
- 28.
S. Abschn. 20.4. Dort wird auch der allgemeinere Fall räumlich nicht konstanter Dichten behandelt.
- 29.
C 1 und C 2 sind positiv und das Vorzeichen von \(\Updelta\) ergibt sich aus Abb. 11.2.
- 30.
Im C 1-C 2-Koordinatensystem (S. Abb. 11.2.) befindet man sich an einem Punkt rechts von der Ordinate, da die Konstante C 1 (11.107) positiv ist. Die Linie konstanter Verzerrungsraten verläuft unter diesem Punkt. Im \(\lambda_{\ast}\)-\(\Updelta\)-Koordinatensystem befindet man sich daher oberhalb der Abszisse links von der Linie „c“. Deshalb ist \(\lambda_{\ast}\) kleiner als 1 und \(\Updelta\) ist positiv, weshalb die Verzerrungsrate d (11.98) an der Oberfläche (\(\lambda=1\)) positiv ist.
- 31.
Dann erhält man für den Bruch in (11.110) den Wert 0,5, der kleiner als der Wert von \((1+\rho_{c}/\tilde{\rho}_{c})/3\approx 1{,}9/3=0{,}633\) ist.
- 32.
Um die entsprechende Bedingung (11.110) zu erfüllen, muss der Bruch in dieser Bedingung, der bei räumlich konstantem A den Wert 1/2 haben würde, den Wert von \((1+\rho_{c}/\tilde{\rho}_{c})/3\approx 1{,}9/3=0{,}63\) erreichen, weshalb die negative Potenz \(A^{-1/n}(\lambda)\) mit wachsendem λ ausreichend stark zunehmen muss.
- 33.
Niedrigere Temperaturen bedeuten niedrigere A-Werte [4, S. 97]. Das Eis wird also nach oben hin zäher.
- 34.
Bei dieser Alternative verläuft die Linie konstanter Verzerrungsraten über dem relevanten Punkt im C 1-C 2-Koordinatensystem (S. Fußnote 11.3.6). Im \(\lambda_{\ast}\)-\(\Updelta\)-Koordinatensystem befindet man sich dann unterhalb der Abszisse rechts von der Linie „h“. Deshalb ist \(\lambda_{\ast}\) größer als 0 und \(\Updelta\) ist negativ, weshalb die Verzerrungsrate d (11.98) an der Sohle (\(\lambda=0\)) positiv ist.
- 35.
Um die entsprechende Ungleichung (11.110) zu erfüllen, muss der Bruch in dieser Ungleichung den Wert von \((1+\rho_{c}/\tilde{\rho}_{c})/3\approx 1{,}9/3=0{,}63\) überschreiten, weshalb die negative Potenz \(A^{-1/n}(\lambda)\) mit wachsendem λ entsprechend stark zunehmen muss.
- 36.
Mit Hilfe dieses Ansatzes (11.111) sollen nur die Eigenschaften des Tafeleisbergmodells anhand konkreter Beispiele illustriert werden. Inwieweit dieser Ansatz der Realität entspricht, ist nicht Gegenstand dieser Untersuchung.
- 37.
Die Berechnung erfolgt nach dem in Abschn. 20.3 angegebenen Verfahren.
- 38.
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Halfar, P. (2016). Schwimmende Gletscher. In: Spannungen in Gletschern. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48022-9_11
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