Anhang 3.1 Gradient in Kugelkoordinaten
In Abschn. 3.2.2 haben wir unter Verwendung von kartesischen Koordinaten Beziehungen für das totale Differenzial und für den Gradienten einer Skalarfunktion abgeleitet. Wir haben dort bereits darauf hingewiesen, dass die Beziehung (3.21)
$$ {\text{d}}\varphi= {\text{d}}\vec{r}\boldsymbol{\cdot} \nabla \varphi= {\text{d}}\vec{r}\boldsymbol{\cdot} {\text{grad}}\;\varphi$$
auch bei anderen als kartesischen Koordinaten gültig ist, da das Differenzial des Richtungsvektors und der Gradient entsprechend angepasst werden. Am Beispiel von Kugelkoordinaten stellen wir diese Anpassung für den Gradienten exemplarisch vor.
Da Substitutionen
für die Transformation des Gradienten von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten eine zentrale Rolle spielen, ist es sinnvoll, eine Betrachtung zum Thema Substitution einzufügen.
Wir betrachten folgendes Beispiel für eine zweistellige Funktion f mit den unabhängigen Variablen x und y:
$$ f({x,y}) = {x^2} + x\cdot y. $$
Wenn die Variablen x und y jeweils Funktionen der Variablen \(\xi \) und \(\eta \) sind, dann können wir durch Substitution eine Funktion g mit den unabhängigen Variablen \(\xi \) und \(\eta \) bilden, welche in enger Beziehung zur Funktion f steht. Für
$$ \begin{matrix} {x = x({\xi,\eta }) = \xi+ \eta } \\ {y = y({\xi,\eta }) = \xi -\eta }\end{matrix}\quad \Rightarrow \quad \begin{matrix} {\xi= \xi ({x,y}) = \frac{{x + y}}{2}}\\ {\eta= \eta ({x,y}) = \frac{{x-y}}{2}}\end{matrix} $$
ergibt sich durch Substitution der Variablen x und y in der Funktion f
$$ g({\xi,\eta }) = x{({\xi,\eta })^2} + x({\xi,\eta })\cdot y({\xi,\eta }) = {({\xi+ \eta })^2} + ({\xi+ \eta })\cdot ({\xi -\eta }) = 2\cdot ({{\xi^2} + \xi \cdot \eta }). $$
Im Ergebnis der Substitution entsteht eine andere Funktion g in den Variablen \(\xi \) und \(\eta \) (es haben sich nicht nur die Variablenbezeichner geändert, sondern auch die Struktur der Funktionsterme für f und g ist unterschiedlich). Dennoch stehen die beiden Funktionen in enger Beziehung zueinander, da für die Variablen x und y bzw. \(\xi \) und \(\eta \) die angegebenen Transformationen bestehen.
Beispiel 3.15
$$ \begin{aligned}{\text{F}\ddot{\mathrm{u}}\text{\/r }}({x,y}) &= ({2,4}) \quad \Rightarrow \quad \xi= \xi ({x,y}) = \frac{{x + y}}{2} = 3\; \text{und} \\\eta&= \eta ({x,y}) = \frac{{x-y}}{2} = -1,{~\text{\/ d}}{\text{. h}}{.}\;({\xi,\eta }) = ({3,-1}).\end{aligned} $$
Es gelten:
$$\begin{array}{l}f\left( {2,4} \right) = {2^2} + 2 \cdot 4 = 12, \\ g\left( {3, - 1} \right) = 2 \cdot \left( {{3^2} + 3 \cdot \left( { - 1} \right)} \right) = 12, \\ g\left( {2,4} \right) = 2 \cdot \left( {{2^2} + 2 \cdot 4} \right) = 24 \ne 12. \\ \end{array}$$
Ergebnis: \(f({2,4}) = g({3,-1}),{\text{ aber}}f({2,4})\ne g({2,4}).\)
Fazit
\(f({x,y}) = g({\xi,\eta })\) gilt, wenn die Variablen die angegebenen Beziehungen erfüllen.
In diesem Abschnitt verwenden wir folgende Bezeichnungen:
| | Koordinatensystem |
|---|
Objekt | Kugelkoordinatensystem | Kartesisches Koordinatensystem |
|---|
Koordinaten |
\(r,\vartheta,\varphi \)
|
\(x,y,z\)
|
Koordinatendifferenziale |
\({\text{d}}\vec{r}({r,\vartheta,\varphi })\)
|
\({\text{d}}\vec{x}({x,y,z})\)
|
Basisvektoren |
\(\overrightarrow{{{g_r}}},\overrightarrow{{{g_\vartheta }}},\overrightarrow{{{g_\varphi }}}\)
|
\(\overrightarrow{{{e_x}}},\overrightarrow{{{e_y}}},\overrightarrow{{{e_z}}}\)
|
Skalarfunktionen |
\(\psi ({r,\vartheta,\varphi })\)
|
\(\chi ({x,y,z})\)
|
Wir verwenden jeweils natürliche Basisvektoren, da diese bei der Bestimmung der Koordinatendifferenziale auftreten:
$$\begin{aligned}{\rm{d}}\vec r \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) &= \frac{{\partial \vec r }}{{\partial r}} \cdot {\rm{d}}r + \frac{{\partial \vec r }}{{\partial \vartheta }} \cdot {\rm{d}}\vartheta + \frac{{\partial \vec r }}{{\partial \varphi }} \cdot {\rm{d}}\varphi = \overrightarrow {{g_r}} \cdot {\rm{d}}r + \overrightarrow {{g_\vartheta }} \cdot {\rm{d}}\vartheta + \overrightarrow {{g_\varphi }} \cdot {\rm{d}}\varphi , \\ {\rm{d}}\vec x \left( {x,y,z} \right) &= \frac{{\partial \vec x }}{{\partial x}} \cdot {\rm{d}}x + \frac{{\partial \vec x }}{{\partial y}} \cdot {\rm{d}}y + \frac{{\partial \vec x }}{{\partial z}} \cdot {\rm{d}}z \\&= \overrightarrow {{e_x}} \cdot {\rm{d}}x + \overrightarrow {{e_y}} \cdot {\rm{d}}y + \overrightarrow {{e_z}} \cdot {\rm{d}}z,{\rm{da }}\vec x \left( {x,y,z} \right) = x \cdot \overrightarrow {{e_x}} + y \cdot \overrightarrow {{e_y}} + z \cdot \overrightarrow {{e_z}} . \end{aligned}$$
Gegeben
$$ \begin{aligned}{\text{grad}}\chi ({x,y,z}) &= {({{\text{grad}}\;\chi })_x}\cdot \overrightarrow{{{e_x}}}+ {({{\text{grad}}\;\chi })_y}\cdot \overrightarrow{{{e_y}}}+ {({{\text{grad}}\;\chi })_z}\cdot \overrightarrow{{{e_z}}}\\&= \frac{{\partial \chi }}{{\partial x}}\cdot \overrightarrow{{{e_x}}}+ \frac{{\partial \chi }}{{\partial y}}\cdot \overrightarrow{{{e_y}}}+ \frac{{\partial \chi }}{{\partial z}}\cdot \overrightarrow{{{e_z}}},\end{aligned} $$
(3.23)
gesucht
$$ {\text{grad}}\psi ({r,\vartheta,\varphi }) = {({{\text{grad}}\psi })_r}\cdot \overrightarrow{{{g_r}}}+ {({{\text{grad}}\psi })_\vartheta }\cdot \overrightarrow{{{g_\vartheta }}}+ {({{\text{grad}}\psi })_\varphi }\cdot \overrightarrow{{{g_\varphi }}}. $$
(3.24)
Bedingung
Die Beziehung (3.21) soll in beiden Koordinatensystemen gelten, d. h.
$$\begin{array}{l}{\rm{d}}\chi \left( {x,y,z} \right) = {\rm{d}}\vec x \left( {x,y,z} \right) \boldsymbol{\cdot} {\rm{grad}}\chi , \\ {\rm{d}}\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) = {\rm{d}}\vec r \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) \boldsymbol{\cdot} {\rm{grad}}\psi . \\ \end{array}$$
Lösung
Der zentrale Gedanke, um von (3.23) nach (3.24) zu gelangen, besteht in der Substitution der Skalarfunktion in kartesischen Koordinaten durch diejenige in Kugelkoordinaten:
$$ \psi ({r,\vartheta,\varphi }) = \chi ({x,y,z}). $$
(3.25)
Diese Substitution ist zulässig unter der Bedingung, dass zwischen den Variablen die bekannten Transformationsbeziehungen
$$ \begin{matrix} {x({r,\vartheta,\varphi }) = r\cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi } \\ {y({r,\vartheta,\varphi }) = r\cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi } \\ {z({r,\vartheta,\varphi }) = r\cdot \cos \vartheta }\end{matrix}\quad \Rightarrow \quad \begin{matrix} {r({x,y,z}) = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\\ {\vartheta ({x,y,z}) = \arccos \frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}}}\\ {\varphi ({x,y,z}) = \arctan \frac{y}{x}}\end{matrix} $$
(3.26)
gelten, die wir in Abschn. 4.2.3 für die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten angeben.
Nach Durchführung der Substitution ergibt sich aus (3.23):
$$ {\text{grad}}\chi ({x,y,z}) = {\text{grad}}\psi ({r,\vartheta,\varphi }) = \frac{{\partial \psi ({r,\vartheta,\varphi })}}{{\partial x}}\cdot \overrightarrow{{{e_x}}}+ \frac{{\partial \psi ({r,\vartheta,\varphi })}}{{\partial y}}\cdot \overrightarrow{{{e_y}}}+ \frac{{\partial \psi ({r,\vartheta,\varphi })}}{{\partial z}}\cdot \overrightarrow{{{e_z}}}. $$
(3.27)
Da die Skalarfunktion \(\psi \) von den Kugelkoordinaten abhängig ist, muss für die Ableitungsterme die Kettenregel angewendet werden:
$$\begin{array}{l}\frac{{\partial \psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right)}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot \frac{{\partial r}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \vartheta }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}, \\ \frac{{\partial \psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right)}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot \frac{{\partial r}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \vartheta }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}, \\ \frac{{\partial \psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right)}}{{\partial z}} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot \frac{{\partial r}}{{\partial z}} + \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \vartheta }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}. \\ \end{array}$$
(3.28)
Die Ableitungen der Kugelkoordinaten nach den kartesischen Koordinaten bestimmen wir aus (3.26), anschließend substituieren wir die kartesischen Koordinaten durch Kugelkoordinaten. Für die partiellen Ableitungen nach x zeigen wir das Vorgehen, dabei nutzen wir die Abkürzung \(\rho= \sqrt {{x^2} + {y^2}}= r\cdot \sin \vartheta \):
$$\begin{aligned}\frac{{\partial r}}{{\partial x}} &= \frac{{\partial \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \\&= \frac{{r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi }}{r} = \sin \vartheta \cdot \cos \varphi , \\ \frac{{\partial \vartheta }}{{\partial x}} &= \frac{\partial }{{\partial x}}\arccos \frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \\&= - \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{z^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} }} \cdot z \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} \cdot 2 \cdot x \\& = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} \cdot \frac{{x \cdot z}}{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }^3}}} = \frac{{x \cdot z}}{{\rho \cdot {r^2}}} \\&= \frac{{{r^2} \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \vartheta \cdot \cos \varphi }}{{{r^3} \cdot \sin \vartheta }} = \frac{{\cos \vartheta \cdot \cos \varphi }}{r}, \\ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} &= \frac{\partial }{{\partial x}}\arctan \frac{y}{x} = \frac{1}{{1 + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}}} \cdot y \cdot \left( { - 1} \right) \cdot {x^{ - 2}} \\&= - \frac{y}{{{\rho ^2}}} = - \frac{{r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi }}{{{r^2} \cdot {{\sin }^2}\vartheta }} = - \frac{{\sin \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }}. \end{aligned}$$
Die anderen Ableitungen werden analog gebildet, wir erhalten die Jakobi-Matrix
:
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial r}}{{\partial x}}} & {\frac{{\partial r}}{{\partial y}}} & {\frac{{\partial r}}{{\partial z}}} \\{\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial x}}} & {\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial y}}} & {\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial z}}} \\{\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} & {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} & {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}} \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \vartheta \cdot \cos \varphi } & {\sin \vartheta \cdot \sin \varphi } & {\cos \vartheta } \\{\frac{{\cos \vartheta \cdot \cos \varphi }}{r}} & {\frac{{\cos \vartheta \cdot \sin \varphi }}{r}} & { - \frac{{\sin \vartheta }}{r}} \\{ - \frac{{\sin \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }}} & {\frac{{\cos \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }}} & 0 \\\end{array}} \right).$$
(3.29)
Setzen wir (3.29) in (3.28) ein und die so gewonnenen Terme in (3.27), dann ergibt sich:
$$\begin{aligned}{\rm{grad}}\;&\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) \\= &\left( {\sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \cos \varphi }}{r} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} - \frac{{\sin \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }}} \right) \cdot \overrightarrow {{e_x}} + \\&+ \left( {\sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \sin \varphi }}{r} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} + \frac{{\cos \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }}} \right) \cdot \overrightarrow {{e_y}} + \\&+ \left( {\cos \vartheta \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} - \frac{{\sin \vartheta }}{r} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }}} \right) \cdot \overrightarrow {{e_z}} . \end{aligned}$$
(3.30)
Die Gl. (3.30) liegt in einer gemischten Darstellung vor, da in den Klammern Kugelkoordinaten stehen, aber noch die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems verwendet werden.
Um unser Ziel erreichen zu können, drücken wir die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems durch Terme mit den Basisvektoren des Kugelkoordinatensystems aus. Dazu verwenden wir die Beziehungen für die Basisvektoren des Kugelkoordinatensystems, die wir in Abschn. 4.2.3 ermitteln. Anschließend formen wir diese Gleichungen nach den Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems um:
$$ \overrightarrow{{{g_r}}}= \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow{{{e_x}}}+ \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow{{{e_y}}}+ \cos \vartheta \cdot \overrightarrow{{{e_z}}}, $$
(3.31)
$$ \overrightarrow{{{g_\vartheta }}}= r\cdot \cos \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow{{{e_x}}}+ r\cdot \cos \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow{{{e_y}}}-r\cdot \sin \vartheta \cdot \overrightarrow{{{e_z}}}, $$
(3.32)
$$ \overrightarrow{{{g_\varphi }}}= -r\cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow{{{e_x}}}+ r\cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow{{{e_y}}}. $$
(3.33)
Subtrahieren wir das \(({\sin \vartheta })\) -Fache der Gl. (3.32) vom \(({r\cdot \cos \vartheta })\) -Fachen der Gl. (3.31), dann erhalten wir
$$\begin{array}{l}r \cdot \cos \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_r}} - \sin \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} = \left( {r \cdot {{\cos }^2}\vartheta + r \cdot {{\sin }^2}\vartheta } \right) \cdot \overrightarrow {{e_z}} = r \cdot \overrightarrow {{e_z}} \\ \overrightarrow {{e_z}} = \cos \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_r}} - \frac{{\sin \vartheta }}{r} \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} \\ \end{array}$$
(3.34)
Addieren wir das \(({r\cdot \sin \vartheta })\) -Fache der Gl. (3.31) und das \(({\cos \vartheta })\) -Fache der Gl. (3.32), dann erhalten wir
$$\begin{array}{l}r \cdot \sin \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \cos \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} = \\ \quad = \left( {r \cdot {{\sin }^2}\vartheta \cdot \cos \varphi + r \cdot {{\cos }^2}\vartheta \cdot \cos \varphi } \right) \cdot \overrightarrow {{e_x}} \\\quad\quad+ \left( {r \cdot {{\sin }^2}\vartheta \cdot \sin \varphi + r \cdot {{\cos }^2}\vartheta \cdot \sin \varphi } \right) \cdot \overrightarrow {{e_y}} \\ r \cdot \sin \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \cos \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} = r \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{e_x}} + r \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{e_y}} \\ \end{array}$$
(3.35)
Subtrahieren wir das \(({\sin\vartheta \cdot \cos \varphi })\) -Fache der Gl. (3.35) vom \(({\sin \varphi })\) -Fachen der Gl. (3.33), dann erhalten wir
$$\begin{array}{l}\sin \varphi \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} - r \cdot {\sin ^2}\vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{g_r}} - \sin \vartheta \cdot \cos \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} = \\ \quad = \left( { - r \cdot \sin \vartheta \cdot {{\sin }^2}\varphi - r \cdot \sin \vartheta \cdot {{\cos }^2}\varphi } \right) \cdot \overrightarrow {{e_x}} = - r \cdot \sin \vartheta \cdot \overrightarrow {{e_x}} \\ \overrightarrow {{e_x}} = \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \cos \varphi }}{r} \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} - \frac{{\sin \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} \\ \end{array}$$
(3.36)
Addieren wir das \(({\cos\varphi })\) -Fache der Gl. (3.33) und das \(({\sin\vartheta \cdot \sin\varphi })\) -Fache der Gl. (3.35), dann erhalten wir
$$\begin{array}{l}\cos \varphi \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} + r \cdot {\sin ^2}\vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \sin \vartheta \cdot \cos \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} = \\ \quad = \left( {r \cdot \sin \vartheta \cdot {{\cos }^2}\varphi + r \cdot \sin \vartheta \cdot {{\sin }^2}\varphi } \right) \cdot \overrightarrow {{e_y}} = r \cdot \sin \vartheta \cdot \overrightarrow {{e_y}} \\ \overrightarrow {{e_y}} = \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \sin \varphi }}{r} \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} + \frac{{\cos \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} \\ \end{array}$$
(3.37)
Einsetzen von (3.34), (3.36) und (3.37) in (3.30) ergibt:
$$\begin{array}{c}{\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) = \left( {\sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \cos \varphi }}{r} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} - \frac{{\sin \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }}} \right) \cdot \\\qquad\qquad\qquad\quad \cdot \left( {\sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \cos \varphi }}{r} \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} - \frac{{\sin \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} } \right) + \\\qquad\qquad\qquad\quad + \left( {\sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \sin \varphi }}{r} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} + \frac{{\cos \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }}} \right) \cdot \\\qquad\qquad\qquad\quad \cdot \left( {\sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \frac{{\cos \vartheta \cdot \sin \varphi }}{r} \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} + \frac{{\cos \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} } \right) + \\\qquad\qquad\qquad\quad + \left( {\cos \vartheta \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} - \frac{{\sin \vartheta }}{r} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }}} \right) \cdot \left( {\cos \vartheta \cdot \overrightarrow {{g_r}} - \frac{{\sin \vartheta }}{r} \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} } \right) \cdot \\ \end{array}$$
Wir ordnen die Terme und vereinfachen:
$$\begin{aligned}{\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) = &\overrightarrow {{g_r}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot 1 + \overrightarrow {{g_r}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot 0 + \overrightarrow {{g_r}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot 0 + \\& + \overrightarrow {{g_\vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot 0 + \overrightarrow {{g_\vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \frac{1}{{{r^2}}} + \overrightarrow {{g_\vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot 0 + \\& + \overrightarrow {{g_\varphi }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot 0 + \overrightarrow {{g_\varphi }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot 0 + \overrightarrow {{g_\varphi }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{1}{{{r^2} \cdot {{\sin }^2}\vartheta }} \\ {\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) &= \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot \overrightarrow {{g_r}} + \frac{1}{{{r^2}}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} + \frac{1}{{{r^2} \cdot {{\sin }^2}\vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} \end{aligned}$$
(3.38)
In der Literatur wird der Gradient meist mit normierten Basisvektoren angegeben. Dafür benötigen wir die Beträge der Basisvektoren, die sich aus (3.31), (3.32) und (3.33) ergeben:
$$ \left|{\overrightarrow{{{g_r}}}}\right| = 1;\left|{\overrightarrow{{{g_\vartheta }}}}\right| = r;\left|{\overrightarrow{{{g_\varphi }}}}\right| = r\cdot \sin \vartheta. $$
(3.39)
Wir erhalten aus (3.38) und (3.39):
$$\begin{aligned}{\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) &= \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot \frac{{\overrightarrow {{g_r}} }}{{\left| {\overrightarrow {{g_r}} } \right|}} \cdot \left| {\overrightarrow {{g_r}} } \right| + \frac{1}{{{r^2}}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \frac{{\overrightarrow {{g_\vartheta }} }}{{\left| {\overrightarrow {{g_\vartheta }} } \right|}} \cdot \left| {\overrightarrow {{g_\vartheta }} } \right| \\&+ \frac{1}{{{r^2} \cdot {{\sin }^2}\vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{{\overrightarrow {{g_\varphi }} }}{{\left| {\overrightarrow {{g_\varphi }} } \right|}} \cdot \left| {\overrightarrow {{g_\varphi }} } \right| \\& = \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot \overrightarrow {{e_r}} \cdot 1 + \frac{1}{{{r^2}}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \overrightarrow {{e_\vartheta }} \cdot r + \frac{1}{{{r^2} \cdot {{\sin }^2}\vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \overrightarrow {{e_\varphi }} \cdot r \cdot \sin \vartheta \\ {\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) &= \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} \cdot \overrightarrow {{e_r}} + \frac{1}{r} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \vartheta }} \cdot \overrightarrow {{e_\vartheta }} + \frac{1}{{r \cdot \sin \vartheta }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }} \cdot \overrightarrow {{e_\varphi }} \end{aligned}$$
(3.40)
Bemerkung
Wir haben in diesem Abschnitt den recht hohen technischen Aufwand in Kauf genommen, da sich an diesem nichttrivialen Beispiel das Zusammenwirken von Substitution und Koordinatentransformation sowie die Nutzung der Jakobi-Matrix
deutlich zeigen.
Um bei den Rechnungen die Übersicht zu behalten, ist es erforderlich, immer den Bezug zwischen Koordinaten und zugehöriger Basis herzustellen. Leider wird dies in der Literatur nicht immer beachtet, indem zuweilen
-
die zugrundeliegende Basis nicht angegeben wird,
-
ein Basiswechsel unerwähnt bleibt,
-
unterschiedliche Basisvektoren mit dem gleichen Symbol bezeichnet werden.
Bei dieser Vorgehensweise ergeben sich Verständnisprobleme, und es schleichen sich besonders beim Übergang zwischen reinen und gemischten Darstellungen schnell Fehler ein, die bei umfangreichen Berechnungen nur mit großem Aufwand zu finden sind. Dann helfen auch Bemerkungen wie „durch einfache Umformungen erhält man …“ oder gar „wie man leicht sieht …“ nicht weiter.
Wir deuten noch einen zweiten und einen dritten Lösungsweg zur Bestimmung der Koordinaten \({({{\text{grad}}\;\psi })_r}\), \({({{\text{grad}}\;\psi })_\vartheta }\) und \({({{\text{grad}}\;\psi })_\varphi }\) des Gradienten der Skalarfunktion \(\psi \) in Kugelkoordinaten an, da sie interessante Ansätze aufweisen.
Zweiter Lösungsweg:
Da die lokalen natürlichen Basisvektoren \(({\overrightarrow{{{g_r}}},\overrightarrow{{{g_\vartheta }}},\overrightarrow{{{g_\varphi }}}})\) des Kugelkoordinatensystems eine Orthogonalbasis bilden (Nachweis s. Abschnitt 4.2.3), ergeben sich die Koordinaten des Gradienten, wenn wir die Skalarprodukte aus diesem Vektor mit den Basisvektoren bilden. Für die \(\varphi \) -Koordinate des Gradienten zeigen wir das Vorgehen, die anderen Koordinaten ergeben sich analog:
$$\begin{aligned}{\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) &= {\left( {{\rm{grad}}\;\psi } \right)_r} \cdot \overrightarrow {{g_r}} + {\left( {{\rm{grad}}\;\psi } \right)_\vartheta } \cdot \overrightarrow {{g_\vartheta }} + {\left( {{\rm{grad}}\;\psi } \right)_\varphi } \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} \quad \left| \boldsymbol{\cdot} \right.\overrightarrow {{g_\varphi }} \\ {\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) \boldsymbol{\cdot} \overrightarrow {{g_\varphi }} &= {\left( {{\rm{grad}}\;\psi } \right)_\varphi } \cdot \overrightarrow {{g_\varphi }} \boldsymbol{\cdot} \overrightarrow {{g_\varphi }} = {\left( {{\rm{grad}}\;\psi } \right)_\varphi } \cdot {\left| {\overrightarrow {{g_\varphi }} } \right|^2} \\ {\left( {{\rm{grad}}\;\psi } \right)_\varphi } &= \frac{{{\rm{grad}}\;\psi \left( {r,\vartheta ,\varphi } \right) \boldsymbol{\cdot} \overrightarrow {{g_\varphi }} }}{{{{\left| {\overrightarrow {{g_{\,\varphi }}} } \right|}^{\,2}}}} \\ \end{aligned}$$
Einsetzen von (3.30), (3.33) und (3.39) ergibt nach Vereinfachung das Ergebnis \({({{\text{grad}}\;\psi })_\varphi } = \frac{1}{{{r^2}\cdot {{\sin }^2}\vartheta }}\cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }}\).
Bei noch komplizierteren Transformationen ergeben sich bei diesem Lösungsweg Terme mit den Komponenten des metrischen Tensors (im vorliegenden Beispiel war dies nur deshalb nicht der Fall, da es sich beim Kugelkoordinatensystem um ein Orthogonalsystem handelt).
Dritter Lösungsweg:
Unter Nutzung der Beziehung (4.141) aus Abschn. 4.2.4 für allgemeine Koordinatentransformationen erhalten wir Gleichungen, welche die gesuchten Koordinaten des Gradienten hinsichtlich des Kugelkoordinatensystems in Abhängigkeit von den bekannten Koordinaten des Gradienten bezüglich des kartesischen Koordinatensystems darstellen. Wir zeigen das Vorgehen wieder für die \(\varphi \) -Koordinate des Gradienten, die anderen Koordinaten ergeben sich analog:
$$\begin{aligned}{\left( {{\rm{grad}}\,\psi } \right)_\varphi } &= \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial x}} \cdot {\left( {{\rm{grad}}\,\psi } \right)_x} \\&\quad+ \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial y}} \cdot {\left( {{\rm{grad}}\,\psi } \right)_y} + \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial z}} \cdot {\left( {{\rm{grad}}\,\psi } \right)_z} \\&= \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial x}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial y}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial z}} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial z}} \end{aligned}$$
Die benötigten partiellen Ableitungen der in kartesischen Koordinaten vorliegenden Skalarfunktion \(\varphi \) bestimmen wir mit (3.26), anschließend substituieren wir ebenfalls mit (3.26) die kartesischen Koordinaten durch Kugelkoordinaten. Wir verwenden wieder die Abkürzung \(\rho= \sqrt {{x^{ 2}}+ {y^{ 2}}}= r\cdot \sin \vartheta \):
\(\begin{aligned}\frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial x}} &= \frac{\partial }{{\partial x}}\arctan \frac{y}{x} = - \frac{{\sin \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }}{ \rm{wie oben,}} \\ \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial y}} &= \frac{\partial }{{\partial y}}\arctan \frac{y}{x} = \frac{1}{{1 + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{{{\rho ^2}}} = \frac{{r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi }}{{{r^2} \cdot {{\sin }^2}\vartheta }} = \frac{{\cos \varphi }}{{r \cdot \sin \vartheta }} \\ \frac{{\partial \varphi \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial z}} &= \frac{\partial }{{\partial z}}\arctan \frac{y}{x} = 0. \\ \end{aligned}\)
Die benötigten partiellen Ableitungen der Skalarfunktion \(\psi \) bestimmen wir wie oben mithilfe der Kettenregel (3.28) und der Jakobi-Matrix (3.29). Nach Vereinfachung ergibt sich wieder \({({{\text{grad}}\;\psi })_\varphi } = \frac{1}{{{r^2}\cdot {{\sin }^2}\vartheta }}\cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial \varphi }}\).
Jeder der vorgestellten Lösungswege erfordert einen erheblichen algebraischen Aufwand. Deshalb bietet sich für derartige Transformationen die Nutzung von Computer-Algebra-Systemen oder guten Formelsammlungen an. Diese sollten die zugrundeliegende Basis ausweisen, da sich bei Verwendung einer normierten natürlichen Basis andere Beziehungen ergeben als bei Nutzung einer nichtnormierten natürlichen Basis.
Anhang 3.2 Kovariante Ableitung und kovariantes Differenzial
Für das Verständnis der folgenden Betrachtungen sind Kenntnisse der Vektorrechnung erforderlich, die wir in Kap. 4 thematisieren. Wir verwenden die Einstein’sche Summenkonvention (2.4).
Es wird ein Feldvektor \(\overrightarrow{A}(P)\) am Punkt P betrachtet, dessen Koordinaten sich auf das lokale Koordinatensystem \(\left\{{\overrightarrow{{{g_P}}}}\right\}\) dieses Punktes beziehen. Wir weisen dem Feldvektor kontravariante Koordinaten zu:
$$ \overrightarrow{A}(P) = {A^\alpha }\cdot \overrightarrow{{{g_\alpha }}}. $$
(3.41)
Beim Übergang von einem Punkt P zu einem Punkt Q verändern sich die Koordinaten des Feldvektors wegen seiner Ortsabhängigkeit, außerdem unterliegen die Koordinaten einer „Pseudoänderung“, da sie im Punkt Q durch ein anderes Koordinatensystem beschrieben werden als im Punkt P (diese „Pseudoänderung“ tritt auch dann auf, wenn wir den Feldvektor lediglich vom Punkt P zum Punkt Q parallel verschieben). Der Versuch, die Gesamtänderung des Feldvektors durch Differenzbildung gemäß \(\Delta \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A}(Q)-\overrightarrow{A}(P)\) zu beschreiben, scheitert daran, dass es sich bei \(\Delta \overrightarrow{A}\) um keinen Vektor nach physikalischem Verständnis handelt. Bei einer Koordinatentransformation transformieren sich nämlich die Vektoren \(\overrightarrow{A}(P)\) und \(\overrightarrow{A}(Q)\) i. A. mit unterschiedlichen Transformationsmatrizen, da wir bei allgemeinen Betrachtungen zulassen müssen, dass die Transformationsmatrix ortsabhängige Elemente besitzt.
Der Ausweg besteht darin, dass wir zunächst für Q nur solche Punkte betrachten, die sich in infinitesimal kleiner Entfernung von P befinden, denn in diesem Fall können wir näherungsweise sowohl die Koordinaten des Feldvektors als auch die Elemente der Transformationsmatrix im Punkt \(Q = P + {\text{d}}P\) durch das im Punkt P geltende lokale Koordinatensystem beschreiben. Außerdem können wir für die mathematische Modellierung von infinitesimalen Änderungen wieder lineare Ansätze verwenden, wie wir das in der Differenzialrechnung stets getan haben. Der Übergang zu einem Punkt, der sich in makroskopischer Entfernung von P befindet, kann wie üblich durch Integration realisiert werden.
Wir führen folgende Bezeichnungen ein:
\({\text{d}}\overrightarrow{A}\)… infinitesimale Änderung des Feldvektors wegen seiner Ortsabhängigkeit,
\(\delta \overrightarrow{A}\)… infinitesimale „Pseudoänderung“ des Feldvektors wegen der Ortsabhängigkeit des lokalen Koordinatensystems.
Die infinitesimale Gesamtänderung des Feldvektors wird als kovariantes Differenzial
bezeichnet und mit \({\text{D}}\overrightarrow{A}\) symbolisiert:
$$ {\text{D}}\vec{A} = {\text{d}}\vec{A} + \delta \vec{A}. $$
(3.42)
Mit (3.41) erhalten wir:
$$ {\text{D}}\vec{A} = {\text{d}}\vec{A} + \delta \vec{A} = {\text{d}}{A^\alpha }\cdot \overrightarrow{{{g_\alpha }}}+ {A^\alpha }\cdot {\text{d}}\overrightarrow{{{g_\alpha }}}= \frac{{\partial {A^\alpha }}}{{\partial {x^\beta }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta }\cdot \overrightarrow{{{g_\alpha }}}+ {A^\alpha }\cdot \frac{{\partial \overrightarrow{{{g_\alpha }}}}}{{\partial {x^\beta }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta }. $$
(3.43)
Die Änderung \({\text{d}}\overrightarrow{{{g_\alpha }}}\) von \(\overrightarrow{{{g_\alpha }}}\) beim Fortschreiten längs \(\overrightarrow{{{g_\beta }}}\) um \({\text{d}}{x^\beta }\) wird durch die lokale Basis \(\left\{{\overrightarrow{{{g_P}}}}\right\}\) im Punkt P durch einen formalen Ansatz ausgedrückt. Dazu werden dreifach indizierte Symbole verwendet, deren Indizes so in Hoch- bzw. Tiefstellung gebracht werden, dass die Einstein’sche Summenkonvention weiterhin angewendet werden kann. Diese Symbole werden als Christoffel-Symbole
\(\Gamma_{\alpha \beta }^\gamma \)
bezeichnet. Für die mathematische Beschreibung der Änderung der Basisvektoren ergibt sich damit:
$$ {\text{d}}\overrightarrow{{{g_\alpha }}}= \frac{{\partial \overrightarrow{{{g_\alpha }}}}}{{\partial {x^\beta }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta } =:\Gamma_{\alpha \beta }^\gamma \cdot \overrightarrow{{{g_\gamma }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta }{\text{bzw}}{. }\frac{{\partial \overrightarrow{{{g_\alpha }}}}}{{\partial {x^\beta }}}= \Gamma_{\alpha \beta }^\gamma \cdot \overrightarrow{{{g_\gamma }}}. $$
(3.44)
Deutung der Christoffel-Symbole
\(\Gamma_{\alpha \beta }^\gamma \) ist die \(\gamma \) -te Komponente der Änderung von \(\overrightarrow{{{g_\alpha }}}\) beim Fortschreiten längs \(\overrightarrow{{{g_\beta }}}\) um \({\text{d}}{x^\beta }\).
Die Berechnung der Christoffel-Symbole erfolgt mithilfe einer Beziehung zwischen diesen Symbolen und den Komponenten der metrischen Tensoren, deren Herleitung und Anwendung wir der Fachausbildung an der Hochschule überlassen.
Einsetzen von (3.44) in (3.43) ergibt
$$ {\text{D}}\vec{A} = {\text{d}}\vec{A} + \delta \vec{A} = \frac{{\partial {A^\alpha }}}{{\partial {x^\beta }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta }\cdot \overrightarrow{{{g_\alpha }}}+ {A^\alpha }\cdot \Gamma_{\alpha \beta }^\gamma \cdot \overrightarrow{{{g_\gamma }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta }. $$
(3.45)
Wir erhalten die \(\mu \) -te Komponente des kovarianten Differenzials, wenn wir das Skalarprodukt aus (3.45) und \(\overrightarrow{{{g^\mu }}}\) bilden:
$$\begin{array}{l}{\rm{D}}\left( {{A^\alpha } \cdot \delta _\alpha ^\mu } \right) = {\rm{d}}\left( {{A^\alpha } \cdot \delta _\alpha ^\mu } \right) + \delta \left( {{A^\alpha } \cdot \delta _\alpha ^\mu } \right) = \frac{{\partial {A^\alpha }}}{{\partial {x^\beta }}} \cdot {\rm{d}}{x^\beta } \cdot \delta _\alpha ^\mu + {A^\alpha } \cdot \Gamma _{\alpha \beta }^\gamma \cdot \delta _\gamma ^\mu \cdot {\rm{d}}{x^\beta } \\ {\rm{D}}{A^\mu } = {\rm{d}}{A^\mu } + \delta {A^\mu } = \frac{{\partial {A^\mu }}}{{\partial {x^\beta }}} \cdot {\rm{d}}{x^\beta } + {A^\alpha } \cdot \Gamma _{\alpha \beta }^\mu \cdot {\rm{d}}{x^\beta } = \left( {\frac{{\partial {A^\mu }}}{{\partial {x^\beta }}} + {A^\alpha } \cdot \Gamma _{\alpha \beta }^\mu } \right) \cdot {\rm{d}}{x^\beta } \\ \end{array}$$
(3.46)
… kovariantes Differenzial der kontravarianten Koordinaten eines Vektors.
Analog zu \({\text{d}}y = f'(x)\cdot {\text{d}}x\) stellt \(\frac{{\partial {A^\mu }}}{{\partial {x^\beta }}}+ {A^\alpha }\cdot \Gamma_{\alpha \beta }^\mu \) eine Ableitung dar, die als kovariante Ableitung bezeichnet wird. In der Literatur existieren für den Term der partiellen Ableitung und für die gesamte kovariante Ableitung unterschiedliche Kurzschreibweisen:
$$ \frac{{\partial {A^\mu }}}{{\partial {x^\beta }}}+ {A^\alpha }\cdot \Gamma_{\alpha \beta }^\mu= {\partial_\beta }{A^\mu } + {A^\alpha }\cdot \Gamma_{\alpha \beta }^\mu=:{A^\mu }_{,\beta } + {A^\alpha }\cdot \Gamma_{\alpha \beta }^\mu= {A^\mu }_{;\beta } = {\nabla_\beta }{A^\mu } $$
(3.47)
… kovariante Ableitung der kontravarianten Koordinaten eines Vektors.
Zur Herleitung von Beziehungen für das kovariante Differenzial und die kovariante Ableitung kovarianter Koordinaten eines Vektors wählen wir für die Gesamtänderungen der kovarianten Koordinaten eines Feldvektors \({\text{D}}{B_\alpha }\) einen zu (3.42) analogen Ansatz:
$$ {\text{D}}{B_\alpha } = {\text{d}}{B_\alpha } + \delta {B_\alpha } = \frac{{\partial {B_\alpha }}}{{\partial {x^\beta }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta } + \delta {B_\alpha }. $$
(3.48)
Wir wissen, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren mit kontra- bzw. kovarianten Koordinaten bei Koordinatentransformationen konstant ist, deshalb muss diese Eigenschaft auch beim Wechsel des lokalen Koordinatensystems gelten:
$$ 0 = \delta ({{A^\mu }\cdot {B_\mu }}) = \delta {A^\mu }\cdot {B_\mu } + {A^\mu }\cdot \delta {B_\mu }. $$
Einsetzen von \(\delta {A^\mu } = {A^\alpha }\cdot \Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {\text{d}}{x^\beta }\) nach (3.46) in den ersten Summanden und Verändern der stummen Indizes im zweiten Summanden ergibt:
$$ 0 = \delta ({{A^\mu }\cdot {B_\mu }}) = {A^\alpha }\cdot \Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {\text{d}}{x^\beta }\cdot {B_\mu } + {A^\alpha }\cdot \delta {B_\alpha } = {A^\alpha }\cdot ({\Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {\text{d}}{x^\beta }\cdot {B_\mu } + \delta {B_\alpha }}). $$
Da \({A^{ \alpha }}\) beliebig ist, wird die letzte Gleichung nur dann erfüllt, wenn
$$ \delta {B_\alpha } = -\Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {\text{d}}{x^\beta }\cdot {B_\mu }. $$
(3.49)
Einsetzen von (3.49) in (3.48) ergibt schließlich:
$$ {\text{D}}{B_\alpha } = \frac{{\partial {B_\alpha }}}{{\partial {x^\beta }}}\cdot {\text{d}}{x^\beta }-\Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {B_\mu }\cdot {\text{d}}{x^\beta } = \left({\frac{{\partial {B_\alpha }}}{{\partial {x^\beta }}}-\Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {B_\mu }}\right)\cdot {\text{d}}{x^\beta } $$
(3.50)
… kovariantes Differenzial für kovariante Koordinaten eines Vektors,
$$ \frac{{\partial {B_\alpha }}}{{\partial {x^\beta }}}-\Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {B_\mu } = {\partial_\beta }{B_\alpha }-\Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {B_\mu } =:{B_{\alpha,\beta }}-\Gamma_{\alpha \beta }^\mu \cdot {B_\mu } = {B_{\alpha;\beta }}= {\nabla_\beta }{B_\alpha } $$
(3.51)
… kovariante Ableitung für kovariante Koordinaten eines Vektors.
In Abschn. 4.3 wird thematisiert, dass Vektoren mit kontravarianten bzw. kovarianten Koordinaten als (1, 0)-Tensoren mit kontravarianten Komponenten bzw. (0, 1)-Tensoren mit kovarianten Komponenten aufgefasst werden können, wenn sich diese Komponenten so transformieren wie Koordinatendifferenziale. Unsere Ergebnisse für die kovariante Ableitung von (1, 0)- und (0, 1)-Tensoren lassen sich auf Tensoren höherer Stufe verallgemeinern.
Die kovariante Ableitung eines gemischten (1, 1)- Tensors \({Y^\lambda }_\mu \) lautet:
$${{\nabla }_{\nu }}{{Y}^{\lambda }}_{\mu }={{Y}^{\lambda }}_{u;v}={{\partial }_{\nu }}{{Y}^{\lambda }}_{\mu }+\Gamma _{\rho \nu }^{\lambda }\cdot {{Y}^{\rho }}_{\mu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\cdot {{Y}^{\lambda }}_{\rho }.$$
Die kovariante Ableitung eines \(({p, q})\) -Tensors
aus p kontravarianten und q kovarianten Komponenten ergibt:
$${\nabla _\gamma }T_{\beta ...}^{\alpha ...} = \frac{\partial }{{\partial {x^\gamma }}}T_{\beta ...}^{\alpha ...} + \underbrace {\Gamma _{\gamma \lambda }^\alpha \cdot T_{\beta .}^{\lambda ...} + ...}_{\scriptstyle {\rm{alle kontravarianten}} \atop\scriptstyle {\rm{Indizes}} } - \underbrace {\Gamma _{\gamma \beta }^\lambda \cdot T_{\lambda ...}^{\alpha ...} - ...}_{\scriptstyle {\rm{alle kovarianten}} \atop\scriptstyle {\rm{Indizes}}}$$
(3.52)
Die kovariante Ableitung eines Skalars S, d. h. eines (0, 0)-Tensors, ergibt einen (0, 1)-Tensor, da:
\({\text{D}}S = {\text{d}}S = \frac{{\partial S}}{{\partial {x^\alpha }}}\cdot {\text{d}}{x^\alpha } =:{v_\alpha }\cdot {\text{d}}{x^\alpha }\) mit dem (0, 1)-Tensor \({v_\alpha } = \frac{{\partial S}}{{\partial {x^\alpha }}}\).
Diese Eigenschaft der kovarianten Ableitung gilt allgemein, d. h., die kovariante Ableitung eines \(({p, q})\) -Tensors ergibt einen \(\left( p,q+1 \right)\) -Tensor. Aus dieser Eigenschaft, dass die kovariante Ableitung eines Tensors eine zusätzliche kovariante Stufe liefert, erklärt sich die Bezeichnung „kovariante Ableitung“.
In der Literatur wird zuweilen der Summand \(\delta \vec{A}\) in (3.42) mit negativem Vorzeichen definiert. Da in diesem Fall auch die Christoffel-Symbole in (3.44) mit entgegengesetztem Vorzeichen eingeführt werden, ändert sich nichts an den von uns angegebenen Beziehungen.
Die in (3.47) und (3.51) benutzte Symbolschreibweise für die partielle Ableitung und die kovariante Ableitung erfordert große Sorgfalt beim Erstellen und Lesen der Formeln.
