Der Satz von Radon-Nikodým

Zusammenfassung

Der Satz von Radon-Nikodým trifft Aussagen über die Struktur von Maßen ν, die bezüglich eines Maßes μ absolut stetig sind. Er sichert die Existenz einer messbaren Funktion f, der sogenannten Radon-Nikodým-Ableitung, so dass sich ν als Integral von f bezüglich μ darstellen läßt.

Ob ein finites Maß auf $(\mathbb{R},\mathfrak{B})$ absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes auf $(\mathbb{R},\mathfrak{B})$ ist, kann man anhand seiner Verteilungsfunktion erkennen, die in diesem Fall eine Eigenschaft besitzt, die man ebenfalls als absolute Stetigkeit bzeichnet (siehe Abschn. 9.4). Eng verbunden mit diesen Begriffen der absoluten Stetigkeit ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Lebesgue-Integrale. Die Cantorsche Funktion ist ein Beispiel für eine stetige, aber nicht absolut stetige Funktion auf dem Intervall $[0,1]$.