Zusammenfassung
Ausgehend von den ganzen Zahlen und Restklassenringen führen wir in diesem Kapitel den Ringbegriff ein und diskutieren Einheiten, Nullteiler und Integritätsringe. Danach werfen wir einen kurzen Blick auf die algebraische Geometrie, die sich mit Nullstellenmengen von Polynomen beschäftigt, und gehen auf die Bedeutung von Idealen in diesem Zusammenhang ein. Wir sprechen auch kurz den algorithmischen Zugang dazu im Sinne von Computeralgebra und Gröbnerbasen an. Dies föhrt auf natürliche Weise zu dem Begriff des noetherschen Rings. Wieder motiviert durch Eigenschaften von den ganzen Zahlen, diskutieren wir im Folgenden Hauptidealringe, euklidische Ringe und den Chinesischen Restsatz mit Anwendungen, z. B. in der Polynominterpolation.
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Notes
- 1.
Für einen Beweis siehe z. B. [7, Ch. 4, §5, Cor. 4]. Dieses Buch gibt auch eine mit den hier vermittelten Grundlagen verständliche Einführung in die algebraische Geometrie.
- 2.
Für einen Beweis siehe z. B. [7, Ch. 4, §5, Cor. 12].
- 3.
Zu elliptischen Kurven siehe [28, Ch. II].
- 4.
Als weiterführende Literatur siehe z. B. [7, Ch. 2]. Dieses Buch gibt auch eine mit den hier vermittelten Grundlagen verständliche Einführung in die Computeralgebra.
- 5.
Für einen Beweis siehe z. B. [40, Bsp. 1.29].
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Boehm, J. (2016). Ringe. In: Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-45229-5_4
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