Diophantische Gleichungen

Zusammenfassung

Rationale Approximationen liefern manchmal einen Lösungsansatz für diophantische Gleichungen. Bereits in Abschnitt 3.2 hatten wir mit der linearen diophantischen Gleichung 106X − 333Y = 1, ein einfaches Beispiel kennen gelernt. Hier liefern die ganzzahligen Lösungen mit x/y = 333/106 + 1/106y immer bessere rationale Approximationen an 333/106, beispielsweise ist x = 22, y = 7 eine solche Lösung. Diese Beobachtung kann man sich aber auch umgekehrt zu Nutze machen: Gegeben eine lineare diophantische Gleichung von einer Gestalt wie oben, so kann man eine spezielle Lösung unter den besten rationalen Approximationen an den Quotienten der Koeffizienten wiederfinden! Tatsächlich lässt sich diese Strategie auch bei gewissen komplizierteren Gleichungen anwenden. In diesem Kapitel wollen wir mit der Pellschen Gleichung eine Klasse solcher Gleichungen untersuchen.