Die Jordannormalform I

Zusammenfassung

Nicht jede quadratische Matrix $A\in{\mathbb{R}}^{n\times n}$ ist diagonalisierbar. Zerfällt aber das charakteristische Polynom $\chi_{A}$ in Linearfaktoren, so existiert zumindest eine Schurzerlegung (siehe Kap. 42). Die Jordannormalform ist gewissermaßen eine Verbesserung der Schurzerlegung: Sie existiert unter denselben Voraussetzungen wie die Schurzerlegung und ist eine besonders einfache obere Dreiecksmatrix: Sie hat abgesehen von einigen Einsen auf der oberen Nebendiagonalen Diagonalgestalt. Das Wesentliche ist nun, dass zu jeder komplexen Matrix A eine solche Jordannormalform J existiert. Das Bestimmen der A auf Jordannormalform J transformierenden Matrix S, das ist die Matrix S mit $J=S^{-1}A\,S$, ist etwas aufwendig: Der erste Schritt dazu ist das Bestimmen der verallgemeinerten Eigenräume. Das erledigen wir im vorliegenden Kapitel, im nächsten Kapitel zeigen wir, wie man hieraus S erhält.