Die Q R-Zerlegung einer Matrix

Zusammenfassung

In der Theorie ist das lineare Ausgleichsproblem einfach zu lösen, es ist hierbei nur das lineare Gleichungssystem $A^{\top}A\,x=A^{\top}b$ zu lösen. In den praktischen Anwendungen hat die Matrix A meist sehr viele Zeilen, sodass ein Lösen mit Bleistift und Papier nicht mehr möglich ist. Aber auch das (naive) Lösen der Normalgleichung mit einem Rechner ist nicht zu empfehlen: Das Berechnen von $A^{\top}A$ und anschließende Lösen des LGS $A^{\top}A\,x=A^{\top}b$ ist instabil und führt somit zu ungenauen Resultaten. Bei der numerischen Lösung des linearen Ausgleichsproblems ist die $Q\,R$ -Zerlegung der Matrix A hilfreich. Mit der $Q\,R$ -Zerlegung kann das lineare Ausgleichsproblem numerisch stabil gelöst werden.