L R-Zerlegung einer Matrix

Zusammenfassung

Wir betrachten das Problem, zu einer invertierbaren Matrix $A\in{\mathbb{R}}^{n\times n}$ und einem Vektor $b\in{\mathbb{R}}^{n}$ einen Vektor $x\in{\mathbb{R}}^{n}$ mit $A\,x=b$ zu bestimmen; kurz: Wir lösen das lineare Gleichungssystem $Ax=b$. Formal erhält man die Lösung durch $x=A^{-1}b$.

Aber die Berechnung von $A^{-1}$ ist bei einer großen Matrix A aufwendig. Die Cramer’sche Regel (siehe Seite ) ist aus numerischer Sicht zur Berechnung der Lösung x ungeeignet. Tatsächlich liefert das Gauß’sche Eliminationsverfahren, das wir auch in Kap. 9 zur händischen Lösung eines LGS empfohlen haben, eine Zerlegung der Koeffizientenmatrix A, mit deren Hilfe es möglich ist, ein Gleichungssystem der Form $A\,x=b$ mit invertierbarem A zu lösen. Diese sogenannte $L\,R$ -Zerlegung ist zudem numerisch gutartig. Gleichungssysteme mit bis zu etwa 10000 Zeilen und Unbekannten lassen sich auf diese Weise vorteilhaft lösen. Für größere Gleichungssysteme sind iterative Lösungsverfahren zu bevorzugen (siehe Kap. 71).