Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Wie selbst einfachste Beispiele aus der Sekundarstufe I zeigen, muss man die bekannten algebraischen Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa die Gauß-Elimination, auf ihre numerische Brauchbarkeit prüfen: Bei schlecht konditionierten Gleichungssystemen sind die Lösungen sehr empfindlich gegenüber Fehlern in den gegebenen Daten. Man kann die numerische Stabilität des Gauß’schen Verfahrens manchmal mit der (Spalten- oder vollständigen) Pivot-Suche verbessern. Als Maßzahl für die Fehleranfälligkeit eines Gleichungssystems wird die Kondition einer Matrix diskutiert. Außerdem werden zwei Iterationsverfahren vorgestellt (Jacobi-Verfahren und Gauß-Seidel-Verfahren), da sie bei großen Gleichungssystemen häufig schneller sind als algebraische Methoden. Abschließend stellen wir ein anderes Iterationsverfahren zum Lösen sehr großer, überbestimmter Gleichungssysteme vor. In diesem Kapitel werden elementare Kenntnisse über Matrizen- und Vektorrechnung vorausgesetzt.