Die Fakultät z!

Zusammenfassung

Die Funktion, mit der wir uns in diesem Paragraphen beschäftigen wollen, ist eine der merkwürdigsten höheren transzendenten Funktionen. Ihre Entdeckung geht auf die Aufgabe zurück, die Folge der Faktoriellen n!, n = 0, 1, 2, ... durch eine möglichst einfache (zunächst als reell angenommene) Funktion zu interpolieren. Eine Lösung dieser Aufgabe stammt von Euler und lautet:

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(1)

Dabei ist t ^z = e ^{z ln t} durch den Hauptwert von ln t eindeutig definiert; der Integrationsweg ist die positive reelle Achse der t-Ebene. Das uneigentliche Integral — oft als Eulersches Integral zweiter Art bezeichnet — ist für jedes reelle z ≥ − 1 + ε, ε > 0, gleichmäßig konvergent. Partielle Integration gibt

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also die Funktionalgleichung

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(2)

während (1) für z = 0 zu

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wird. Somit stimmt für jede positive ganze Zahl z = n die Funktion (1) mit n! überein. Es zeigt sich weiter, daß die durch (1) definierte Funktion z! ins Komplexe fortsetzbar ist und eine zumindest im Gebiet R(z) > −1 reguläre Funktion der komplexen Veränderlichen z ist; ich komme darauf in Ziffer 3 zurück.