Die Eulersche Differentialgleichung

Zusammenfassung

Den Gegenstand der Variationsrechnung bildet eine besondere Art von Extremumsaufgaben, die von den bisher behandelten Aufgaben ganz wesentlich verschieden sind. Wir haben die Extrema von Funktionen untersucht und notwendige, in einigen einfacheren Fällen auch hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, daß eine gegebene Funktion für bestimmte Werte der unabhängigen Veränderlichen ein Maximum oder Minimum hat. In der Variationsrechnung handelt es sich durchwegs um Extrema von bestimmten Integralen, deren Wert also nicht von irgendwelchen unabhängigen Veränderlichen, sondern von dem ganzen Verlauf gewisser Funktionen abhängt. Man spricht, um diesen Tatbestand hervorzuheben, gelegentlich von Funktionenfunktionen. So etwas liegt schon im einfachsten Fall des bestimmten Integrals

$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $$

(1)

vor, dessen Wert von dem Verlauf der beschränkten und stückweise stetigen Funktion y = f(x) im Integrationsintervall abhängt, also eine Funktionenfunktion ist. Es hat aber offenbar wenig Sinn, nach einem Extremum eines Integrals der Form (1) zu fragen, denn man kann das Integral (1) durch geeignete Wahl der Funktion f(x) größer oder kleiner machen als jede vorgegebene Zahl A. Es wird zweckmäßig sein, wenn ich Ihnen — so wie das in allen einführenden Darstellungen der Variationsrechnung geschieht — zuerst an einigen typischen Beispielen zeige, um was für Aufgaben es sich handelt. Ich beginne mit zwei klassischen Beispielen, an denen sich die Variationsrechnung entwickelt hat.