Zusammenfassung
Als im drittletzten Absatz des vorigen Paragraphen von Einwänden die Rede war, die gegen den Wohlordnungssatz erhoben worden sind, mag mancher Leser den Kopf geschüttelt und sich gefragt haben: sind denn Einwände gegen mathematisch bewiesene Sätze möglich, handelt es sich denn in der Mengenlehre, die doch eine mathematische Disziplin ist, um Glaubenssachen und nicht vielmehr um ein durch logisch zwingende Schlüsse errichtetes Gebäude? In dieser Beziehung muß sich der Leser allerdings zunächst mit einer Enttäuschung abfinden: das Gebäude der Mengenlehre, wie wir es in seinen Umrissen bisher kennengelernt haben, ist in der Tat nicht vollständig sicher und unangreifbar zusammengefügt. Wir werden nämlich sehen, daß aus unserem bisherigen Mengenbegriff und seiner Verwendung logische Unstimmigkeiten, die sogenannten Paradoxien oder Antinomien der Mengenlehre, hergeleitet werden können, deren Vorhandensein an sich unsere Überlegungen als unsicher erscheinen läßt.
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Referenzen
Vgl. auch Zermelos Vortrag auf d. intern. Math.-Kongreß in Rom 1908 (Atti del IV Congr. Int. dei Matematici, II [Roma 1909], 8–11). Eine andere Methode benutzt C. Kuratowski in den Fundamenta Mathematicae 1 und 2 (1920).
Für die Paradoxien, die ursprünglich vereinzelt und zufällig aufgetreten waren, dann aber namentlich von Russell aus solcher Isolierung gelöst und mit einer gewissen Vollständigkeit behandelt wurden, vgl. man etwa die folgenden, auch sonst noch zu nennenden Schriften, die in diesem Paragraphen mit den beigefügten Stichworten abgekürzt zitiert werden (vgl. auch S. 155, Fußnote):
B. Russell: The principles of mathematics, I (bleibt ohne Fortsetzung), Cambridge 1903. (Russell.)
G. Hessenbergs auf S. 246 genanntes Buch.
K. Grelling und A. Nelson: Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti (Abhandl. d. Friesschen Schule, Neue Folge, 2. Bd. [Göttingen 1908], 3. Heft, S. 301–334). (Grelling-Nelson.)
B. Russell: Mathematical logic as based on the theory of types (American Journal of Mathematics, 30 [1908], 222–262). (Russell, Types.)
E. Borel: Sur les principes de la théorie des ensembles (Atti del IV Congr. Intern. dei Matem., II [Roma 1909], 15–17).
A. N. Whitehead and B. Russell: Principia Mathematica, I—III, Cambridge 1910–1913. (Russell-Whitehead.)
H. Poincarés oben S. 150 genannte Schrift. (Poincaré, Methode.) if. Poincaré: Derniéres pensées (Paris 1913); in (nicht vollkommener) deutscher Übersetzung u. d. T. „Letzte Gedanken“, Leipzig 1913. (Poincaré, Gedanken.)
J. König: Neue Grundlage der Logik, Arithmetik und Mengenlehre, Leipzig 1914 (posthum erschienen).
D. Mirimanoff: Les antinomies le Russell et de Burali-Forti . . . (L’Enseignement Mathématique, 19 [1917], 37–52).
L. Chwisteks auf S. 178, Fußnote, genannter Aufsatz.
H. Lipps: Die Paradoxien der Mengenlehre (Jahrbuch f. Philosophie u. phänomenol. Forschung, 6 [1923], 561–571). (Lipps.) sowie die in diesen Schriften angeführte weitere Literatur.
Diese abstrakte und zunächst vielleicht undurchsichtig erscheinende Schlußweise wird dem Leser sogleich verständlich werden, wenn er versucht, sie einmal selbständig durchzudenken; er braucht nur einen der Fälle zu setzen, daß die Menge M entweder sich selbst als Element enthalte oder nicht, und wird daraus von selbst auf einen Widerspruch schließen.
Vgl. (namentlich für historische Nachweise) A. Rüstows Erlanger Dissertation: Der Lügner (Leipzig 1910); man findet dort (S. 130ff.) auch ein ausführliches Verzeichnis der älteren Literatur zu den Paradoxien der Mengenlehre.
Die nächsten, der Auseinandersetzung mit philosophischen Standpunkten gewidmeten Ausführungen (bis S. 163) können überschlagen werden.. ohne daß das Verständnis des Nachfolgenden dadurch berührt wird.
Th. Ziehen, Lehrbuch der Logik (Bonn 1920), S. 414–416.
Auf die z. T. ähnlich lautenden, aber völlig anders begründeten (und auch anders gemeinten) Anschauungen Brouwers und seiner Anhänger wird später (S. 166 ff.) eingegangen.
Vgl. auch die dort angeführte Literatur. Die einschlägigen Schriften H. Cohens, die für die oben besprochene Auffassung richtunggebend waren, sind schwerer verständlich und z. T. unklar, unterliegen aber denselben Bedenken in mindestens gleichem Maß.
G. Veronese, Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen usw., deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894.
Hier (wie schon zuweilen im Vorangehenden) bleibt natürlich die „intuitionistische“ Auffassung (vgl. den nächsten Abschnitt) außer acht.
Man kann natürlich nunmehr, nach der Schöpfung der Mengenlehre, die durch sie eingeführten Systeme unendlicher Zahlen auch losgelöst vom Mengenbegriff betrachten und beim Aufbau der Theorien die Rechenregeln, Anordnungsgesetze usw. scheinbar willkürlich (axiomatisch oder definitorisch) zugrunde legten. Eine solche, a posteriori mögliche Behandlung ist sogar nach verschiedenen Richtungen hin wertvoll: einmal weil so die Schwierigkeit der begrifflichen Einführung der Kardinalzahlen und Ordnungstypen von den Mengen her (S. 44 und 98) vermieden wird, ferner um so die gegenseitigen Abhängigkeitsverhältnisse zwischen den einzelnen Gesetzen des Rechnens usw. leichter untersuchen zu können. Für eine derartige Begründung der Theorie der Kardinalzahlen ist auf das Zitat von S. 212 (Fraenkel) zu verweisen; vgl. auch (für Ordnungszahlen) die Untersuchungen E. Jacobsthals, in den Math. Ann., 66 (1909), 145–194 und 67 (1909), 130–144. Daß es übrigens unmöglich ist, hierbei aktual unendlichkleine Zahlen in den Rahmen der Rechengesetze der unendlichgroßen (Kardinalzahlen) mit hineinzuspannen, zeigen die einschlägigen Untersuchungen in der genannten Arbeit Fraenkels (besonders S. 171, 180, 182f.).
Für die in diesem Absatz gemachte Unterscheidung zwischen „formaler“ und „natürlicher“ oder „anschaulicher“ Begründung neuer mathematischer Begriffe, auf die in scharfer Weise einzugehen nicht in der Absicht der obigen Zeilen lag, vergleiche man auch die etwas verwandte, von Cantor hervorgehobene Unterscheidung zwischen immanenter und transienter Realität von Begriffen (Grundlagen, § 8). Der z. B. mit der Theorie der höheren komplexen Zahlen vertraute Leser denke etwa einerseits an ein durch willkürliche (nur miteinander verträgliche) Additions- und Multiplikationsregeln definiertes System solcher Zahlen mit im allgemeinen für die übrige Mathematik bedeutungslosen Eigenschaften, anderseits an die durch das Bedürfnis der Algebra nahegelegte, durch die Theorie der ebenen Vektoren (Gaußsche Zahlenebene) „transient“ begründete Theorie der gemeinen komplexen Zahlen oder auch z. B. an die der Hamiltonschen Quaternionen.
Auch die folgenden Erörterungen (bis S. 176) bilden ein besonderes Ganzes und können allenfalls — aber nur bei der erstmaligen Lektüre! — zunächst überschlagen werden.
So Brouwer; Poincaré gebraucht den Ausdruck „Pragmatiste“.
Das gilt schon von Kronecker; vgl. z. B. A. Gutzmers Bemerkung in der Naturwiss. Wochenschrift, 8 (1X93), 592.
Für die Arbeiten und Anschauungen von L. E. J. Brouwer und H. Weyl sei verwiesen auf die Literaturangaben in Brouwers Note „Intuitionistische Mengenlehre“ (Jahresber. d. D. Math.-Verein., 28 [1920], 203–208; zitiert als „Brouwer“) und in Weyls eingehend orientierenden Vorträgen „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“ (Math. Zeitschrift, 10 [1921], 39–79; zitiert als „Weyl“), ferner auf die bezüglichen Stellen in O. Beckers Habilitationsschrift „Beiträge zur phänomenologischen Begründung der Geometrie und ihrer physikalischen Anwendungen“ (Jahrbuch f. Philosophie u. phänomenol. Forsch., 6 [1923], 385–560, besonders S. 403–419; zitiert als „Becker“). Während Weyls Schrift „Das Kontinuum“ (gleich Becker auf dem Boden der Husserlschen Phänomenologie stehend) stark philosophisch gehalten und deshalb, namentlich in ihrem ersten Teil, nicht für jeden mathematischen Leser leichtverdaulich ist, schreibt Brouwer vielfach, namentlich in seinem Hauptwerk „Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten’’, leider sehr schwer verständlich; zur näheren Information über seine kritischen wie auch neu aufbauenden Anschauungen ist daher, außer auf einige seiner älteren Aufsätze (besonders die Antrittsrede „Intuitionism and Formalism“), vor allem zu verweisen auf die Darstellungen des Brouwerschen Standpunkts im zweiten Teil der genannten Vorträge Weyls (die im weiteren Verlauf aber, namentlich in ihrem Verhältnis zu Brouwer, mit Vorsicht aufzunehmen sind) sowie in Becker. Übrigens kann die etwas dogmatisch gefärbte, in manchem an Kants Kategorienlehre erinnernde Weylsche Theorie heute als erledigt gelten, nachdem ihr Urheber selbst sie zugunsten der Brouwerschen zurückgezogen hat.
Man bemerke hierzu, daß nach Brouwer „die Logik auf der Mathematik beruht und nicht umgekehrt“ (Brouwer, S. 204).
Für einen allgemeinen Überblick und eine philosophische Betrachtung der Brouwerschen Lehre von Kontinuum vgl. Becher, S. 416 – 419, 424 – 427, 481–435; hierbei erscheint allerdings Brouwers Theorie vielfach nicht unwesentlich modifiziert. In Verbindung mit der Entwicklung der Anschauungen vom Kontinuum verdient auch die Stellung der modernen Physik zum Prinzip „natura non facit saltus“ vermerkt zu werden; ein Zusammenhang zwischen beiden Fragen — abgesehen vom historischen Moment freilich heute überholt — wird z. B. von M. Simon hervorgehoben (Atti del IV Congr. Internat. dei Mat., III [Roma 1909], 386).
Mit Recht hebt Hessenberg (S. 123) hervor, daß die Endlichkeit des zur Entscheidung führenden Verfahrens eigentlich selbstverständlich ist. Dazu ist freilich zu bemerken, daß in den axiomatischen Voraussetzungen (vgl. S. 193 und 209) unter Umständen unendliche Prozesse enthalten sein können, die, wenn nicht unter Benutzung eines „Gesetzes“ auf endliche Prozesse zurückführbar, von dem Intuitionisten abgelehnt werden.
Fünf solche Primzahlen gibt es jedenfalls, nämlich 3, 5, 17, 257, 65537 (für n = l, 2, 4, 8, 16); weitere sind nicht bekannt.
Allgemein braucht im Sinne des Intuitionisten die Frage, ob eine „gegebene“ Menge M endlich (im naiven Sinn) oder mindestens abzählbar unendlich (d. h. eine abzählbare Teilmenge umfassend) ist, nicht stets eine Lösung zu haben; denn wenn M nicht auf eine Menge der Form {1,2,3,..., n} abbildbar ist, so folgt daraus noch keineswegs die Angebbarkeit eines konkreten, durch ein Gesetz sich ausdrückenden Verfahrens, das eine Teilmenge von M auf die Menge aller natürlichen Zahlen abbildete. — Übrigens kann solch ein einzelnes Beispiel eines unlösbaren Problems jederzeit mit der wissenschaftlichen Entwicklung fortfallen, nämlich entscheidbar werden; dann kann es aber stets durch andere Beispiele ersetzt werden (vgl. Brouwer in Math. Annalen, 83 [1921], 210).
Über das Entscheidbarkeitsproblem, dem schon Kronecker die größte Aufmerksamkeit zuwandte, hat sich namentlich seit 1900 eine umfangreiche Literatur entwickelt; es genüge hier auf Hilbert (Vortrag auf dem internation. Math .-Kongress 1900, abgedruckt z. B. im Archiv der Math. und Physik, (3) 1 [1902], 52; vgl. jedoch Math. Annalen, 78 [1918], 412 ff.), Hessenberg (S. 122–134), Brouwer (S. 203 f.) und Becker (S. 409 ff.) zu verweisen (neben der von Becker zitierten Äußerung Paschs ist noch dessen neuerer Aufsatz im Jahresber. d. D. Math.-Verein, 27 [1918], 228–232, zu nennen, wo auch weitere Literaturangaben).
Wegen dieses Zusammenhangs vergleiche man namentlich die übersichtliche Darstellung bei Becker, S. 403–414, wo man auch über die Entwicklung des Mengenbegriffs von Cantor bis Brouwer einen (die Dinge wohl etwas zu einheitlich sehenden) Überblick findet.
Auch für den „formalistischen“ Standpunkt (zumal im Sinne der Zermelo-schen Präzision, die eine scharf begrenzte und möglichst rein mathematische Grundlegung anstrebt) ist allerdings die obige Kennzeichnung „die eine bestimmte Eigenschaft besitzen“ unbefriedigend. Sie bedarf einer schärferen, mathematisch eindeutigen Bestimmung, die durchaus möglich ist; vgl. hierfür S. 197 f.
Um nur wenigstens eine Vorstellung vom Radikalismus dieser Konsequenzen zu geben, sei erwähnt, daß dabei z. ß. Dedekinds Schnitttheorie (vgl. oben S. 106, Fußnote) wie auch der allgemeine Begriff der willkürlichen, unstetigen Funktion (und um so mehr die auf S. 46 betrachtete Menge F) als bedeutungslos abgelehnt werden und daß der für die moderne Analysis grundlegende Satz, wonach jede beschränkte Menge reeller Zahlen (Punktmenge) eine obere und eine untere Grenze (kleinste obere und größte untere Schranke) besitzt, verworfen wird. Eine selbständige, von der Übertragung der Analysis durch den Koordinatenbegriff unabhängige Geometrie wird (von Weyl) überhaupt verneint, ebenso eine allgemeine Funktionenlehre. Hiernach werden die folgenden kennzeichnenden Sätze Weyls (Weyl, S. 70) nicht mehr überraschen: „Die neue Auffassung, sieht man, bringt sehr weitgehende Einschränkungen mit sich gegenüber der ins Vage hinausschwärmenden Allgemeinheit, an welche uns die bisherige Analysis in den letzten Jahrzehnten gewöhnt hat. Wir müssen von neuem Bescheidenheit lernen. Den Himmel wollten wir stürmen und haben nur Nebel auf Nebel getürmt, die niemanden tragen, der ernsthaft auf ihnen zu stehen versucht. Was haltbar bleibt, könnte auf den ersten Blick so geringfügig erscheinen, daß die Möglichkeit der Analysis überhaupt in Frage gestellt ist; dieser Pessimismus ist jedoch unbegründet. . . . Aber daran muß man mit aller Energie festhalten: die Mathematik ist ganz und gar, sogar den logischen Formen nach, in denen sie sich bewegt, abhängig vom Wesen der natürlichen Zahl.“ Man vergleiche mit dem letzten Satz das bekannte Wort des ersten modernen Intuitionisten, Kroneckers: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Vgl. auch F. Bernsteins Aufsatz „Die Mengenlehre Georg Cantors und der Finitismus“ (Jahresb. d. D. Mathem.-Verein., 28 [1919], 63–78). Hier wird auch namentlich der (ältere) extreme Finitismus kritisiert, der den Begriff einer Gesamtheit von unendlich vielen Elementen überhaupt ablehnt. Dem Standpunkt derer, die (etwa mit dem Argument der nichtprädikativen Definition, vgl. S. 174ff.) nur die nichtabzählbaren unendlichen Mengen ablehnen, dürfte Bernstein nicht ganz gerecht werden.
Für die psychologischen Verschiedenheiten der Auffassung, die den fraglichen Diskussionen zugrunde liegen, vergleiche man die anschauliche und anregende Betrachtung bei Poincaré, Gedanken, V. Kapitel.
Russell, Types, S. 225f.; Russell-Whitehead I, 40. Die Formulierung des Originals lautet: „Whatever involves all of a collection must not be one of the collection.“
Von den andersartigen Beweggründen der Intuitionisten ist hier nicht die Rede; auf sie wurde im vorangehenden Abschnitt teils eingegangen, teils wenigstens verwiesen.
Erwähnt sei noch der Lösungsversuch L. Chwisteks, dessen (bisher ungedrucktes) Werk „The theory of constructive types“ in den Abhandlungen der Krakauer Mathematischen Gesellschaft erscheinen soll (briefliche Mitteilung des Verfassers); es stellt eine wesentliche Modifikation der Russellschen Lösung (ohne Reduzibilitätsaxiom, s. u.) dar. Vgl. Chwisteks Aufsatz „Über die Antinomien der Prinzipien der Mathematik“, Math. Zeitschr., 14 (1922), 236–243, und die dortigen Literaturangaben. — Einen anderen (nicht weiter ausgeführten) Ansatz für eine in bestimmter Weise auf geeignete Axiomensysteme sich stützende Fassung des Mengenbegriffs hat J. Mollerup angegeben (Math. Annalen, 64 [1907], 231–238); die Durchführung dieses Ansatzes dürfte wesentlichen Schwierigkeiten begegnen.
Der Rest dieses Paragraphen kann, da späterhin nicht mehr benutzt, wiederum überschlagen werden.
Eine andere axiomatische Behandlung der Mengenlehre, die ein sehr umfangreiches Axiomensystem benutzt und vorerst sich auf eine Teilaufgabe beschränkt, stammt von A. Schoenflies: Kon. Akad. v. Wetensch. te Amsterdam, Proceedings 22 (1920), 784=&10 (mit einigen Zusätzen auch Math. Ann., 83 [1921], 173–200; vgl. dazu Math. Ann., 85 [1922], 60–64).
Diese Theorie ist ihrer wesentlichen Tendenz nach charakterisiert in dem auf S. 152, Fußnote, genannten, nachstehend vornehmlich zugrunde gelegten Aufsatz: Russell, Types, später zu einem weit ausholenden, umfassenden System ausgestaltet in dem ebenda angeführten Werke Russell-White head; dessen vorliegende drei Bände behandeln wesentlich Logik, Mengenlehre und Arithmetik, während (nach dem Plane von 1913) die Geometrie einem weiteren Schlußband vorbehalten ist. Das Werk war ursprünglich als die Fortsetzung des a. a. O. angeführten Buches Russell geplant, ist jedoch von diesem ganz unabhängig geworden, vor allem auf Grund der Entwicklung, die sich in den Anschauungen der Verfasser in den Jahren 1903 bis 1908 vollzogen hat. Russell ist übrigens der in der Kriegs- und Nachkriegszeit auch weiteren Kreisen als mutiger Pazifist und Politiker bekannt gewordene englische Forscher.
Einen ganz allgemeinen Überblick über seine Auffassung von der mathematischen Logik („Logistik“) gibt Russell in dem Aufsatz: „L’Importance philosophique de la logistique“ in der Revue de Métaphysique et de Morale, 19 (1911), 281–291 (in englischer Übersetzung in The Monist, 23 [1913], 481 bis 493). Vgl. dazu ferner Ph. E. B. Jourdain, The philosophy of Mr. B. Russell . . . (London 1918) und B. Russell, Introduction to mathematical philosophy (London and New York 1919). — Vgl. auch Russells, Werk von 1903 (Zitat von S. 152), in dessen Anschauungen L. Couturats Schrift „Les principes des mathématiques“ (Paris 1905; deutsch v. C. Siegel, Leipzig 1908) bequem einführt.
Vgl. z. B. Peano, Formulaire de mathématiques (seit 1891 in mehreren Ausgaben erschienen); Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik, I—III, Leipzig 1890–1895; Frege, Grundgesetze der Arithmetik, Jena 1893 und 1903. Auch im materiellen Teil ihrer Entwicklung machen Whitehead und Russell z. T. wesentlichen Gebrauch von Freges wichtigen Vorarbeiten. Für weitere logistische Literatur vgl. z. B. R. Carnap, Der Raum (Kant-Studien, Ergänzungshefte, Nr. 56), Berlin 1922; auf die dortigen reichhaltigen literarischen Nachweise ist auch sonst für diesen Paragraphen und den Schluß des folgenden aufmerksam zu machen.
Vgl. F. Bernstein, an dem S. 173, Fußnote, angeführten Ort, S. 74 f.
Vgl. schon Math. Annalen, 63 (1907), 217.
Vgl. Hilberts nachstehend S. 235, Fußnote 2, angeführten Vortrag von 1904 und die Darstellung auf S. 234ff., aus der die weitgehende Übereinstimmung der neuen Arbeiten Hilberts mit König nach Problemstellung und methodischem Ansatz hervorgeht.
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Fraenkel, A. (1923). Einwände gegen die Mengenlehre. Notwendigkeit einer veränderten Grundlegung und Wege hierzu. In: Einleitung in die Mengenlehre. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 9. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-25900-9_12
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