Die geometrische Realisierung

Zusammenfassung

Die geometrische Realisierung, Milnor [3], ist ein Funktor, der die umgekehrte Richtung wie der singuläre Funktor S von I 3.5 hat: Jeder ss. Menge X wird ein topologischer Raum |X| zugeordnet. In den beiden ersten Abschnitten wird die Topologie dieses Raumes betrachtet mit dem Hauptergebnis, daß |X| ein CW-Komplex ist, der für jedes nicht entartete n-Simplex genau eine n-Zelle enthält. Im vierten Abschnitt wird untersucht, wann für das kartesische Produkt |X × Y|=|X| × |Y| gilt. Die geometrische Realisierung ist zwar nicht die Umkehrung des singulären Funktors S, aber |...| und S... sind im Sinne von Kan [10] adjungiert, (fünfter Abschnitt). Das bedeutet unter anderem, daß jede ss. Menge X in natürlicher Weise in S|X| eingebettet ist, und zwar als Deformationsretrakt, wenn X eine Kan-Menge ist. Letzteres wird jedoch erst im VII. Kapitel vollständig bewiesen. Aufgrund dieser Tatsache kann man die Kan-Mengen durch eine Homotopie-Approximations-Eigenschaft charakterisieren. Die geometrische Realisierung wird außer in den oben zitierten Arbeiten auch von Gabriel-Zisman betrachtet.