Räume der Krümmung ≦ 0

Zusammenfassung

Über geodätische Kurven auf Flächen negativer Krümmung liegt eine umfangreiche Literatur vor, die mit der grundlegenden Arbeit von J. Hadamard [1] beginnt. Wir hatten bereits in § 26 gesehen, daß der Hadamardsche Existenzsatz unabhängig von Differenzierbarkeitsvoraussetzungen, der Dimensionszahl sowie der Krümmungstheorie bewiesen werden kann. Durch die Untersuchungen von H. Busemann [7] hat sich herausgestellt, daß auch die übrigen Ergebnisse über Existenz und Verlauf von geodätischen Kurven mit nur wenigen Ausnahmen ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen erhalten werden können, wenn der Krümmungsbegriff in rein metrischer Form so gefaßt wird, wie wir dies in § 36 dargestellt haben. Für einen Teil der von H. Busemann hierzu entwickelten Beweismethoden kann die Forderung der Krümmung ≦ 0 durch die schwächere ersetzt werden, daß in den betrachteten Räumen keine konjugierten Punkte auftreten.