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Die innere Geometrie der metrischen Räume

  • Willi Rinow

Part of the Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 105)

Table of contents

  1. Front Matter
    Pages II-XV
  2. Willi Rinow
    Pages 1-58
  3. Willi Rinow
    Pages 58-99
  4. Willi Rinow
    Pages 99-140
  5. Willi Rinow
    Pages 140-186
  6. Willi Rinow
    Pages 186-236
  7. Willi Rinow
    Pages 236-289
  8. Willi Rinow
    Pages 289-354
  9. Willi Rinow
    Pages 354-413
  10. Willi Rinow
    Pages 413-490
  11. Willi Rinow
    Pages 490-509
  12. Back Matter
    Pages 509-520

About this book

Introduction

Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begründet, daß das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr­ dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Während man zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all­ gemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. HILBERT über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, daß ein großer Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Großen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be­ nötigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits­ voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.

Keywords

Geometrie Invariante Mannigfaltigkeit Metrischer Raum Räume Topologie

Authors and affiliations

  • Willi Rinow
    • 1
  1. 1.Ernst Moritz Arndt-UniversitätGreifswaldGermany

Bibliographic information

  • DOI https://doi.org/10.1007/978-3-662-11499-5
  • Copyright Information Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1961
  • Publisher Name Springer, Berlin, Heidelberg
  • eBook Packages Springer Book Archive
  • Print ISBN 978-3-662-11500-8
  • Online ISBN 978-3-662-11499-5
  • Series Print ISSN 0072-7830
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