Die komplexen Zahlen

Zusammenfassung

Kaum eine mathematische Disziplin hat ihr Aussehen und ihren Inhalt im Laufe der Jahrhunderte so stark verändert wie die Algebra. Bis zur Mitte des vorigen Jahrhunderts war Algebra vor allem eine Lehre der Gleichungen beliebigen Grades in einer Unbestimmten. Die Koeffizienten dieser Gleichungen waren zunächst reelle Zahlen. Man hatte sich damit auseinanderzusetzen, dass nicht jede Gleichung eine Lösung hat. Die einfachste Gleichung ohne reelle Lösung ist x ² = - 1. Hieraus ergab sich die Notwendigkeit, den Bereich der Zahlen zu erweitern, indem man eine „imaginäre” Zahl i = √-1 postulierte. Es stellte sich dann heraus, dass man in vieler Hinsicht mit den „komplexen” Zahlen a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind, wie mit den gewohnten Zahlen rechnen kann, und daraus entwickelte sich ein abstrakteres Zahlenverständnis. Ähnlich war es mit den negativen Zahlen gewesen, die sich aus der Unlösbarkeit der Subtraktion einer Zahl von einer kleineren im Bereich der natürlichen Zahlen ergaben (Kapitel 2). Betreffs der negativen Zahlen konnte man die Anschauung zu Hilfe nehmen, indem man den Zahlenstrahl nach links erweiterte. Entsprechend hatte man auf der Zahlengeraden auch Platz für rationale und reelle Zahlen. Aber für die komplexen Zahlen ist kein Platz mehr vorhanden. Zu ihrer geometrischen Darstellung muss man die euklidische Ebene zu Hilfe nehmen.