μ-Rekursive Funktionen

Zusammenfassung

Der Begriff der berechenbaren Funktion ist zunächst intuitiv gegeben (§ 2). Wir sind auf Grund einer Analyse des Verhaltens eines Rechners (§ 3) zu einer exakten Definition als Turing-Berechenbarkeit (§ 6) gekommen. Der damit gewonnene unmittelbare Anschluß an die Intuition ist ohne Zweifel von großem Vorteil, wenn man sich der Bedeutung des so gewonnenen präzisen Begriffes bewußt werden will. Andererseits ist der Begriff der Turing-Berechenbarkeit unmittelbar nicht so flexibel, daß man mathematisch leicht damit hantieren könnte. Wenn man sich mit den Eigenschaften der berechenbaren Funktionen beschäftigen will, wird man daher als Mathematiker zweckmäßigerweise versuchen, an die Stelle der ursprünglichen Definition andere zu setzen, die mit der ursprünglichen äquivalent sind, aber mathematisch leichter handhabbar. Man kennt heute mehrere Begriffe, welche zur Turing-Berechenbarkeit äquivalent sind. Auch diese neuen Begriffe haben jeweils einen intuitiven Hintergrund. Dieser ist jedoch durchweg nicht derart, daß man so wie im Falle der Turing-Berechenbarkeit verhältnismäßig schnell geneigt sein wird zu glauben, daß die auf einer solchen Basis gewonnene Präzisierung alle möglichen berechenbaren Funktionen umfaßt. Die Tatsache, daß man in jedem Falle die Äquivalenz zur Turing-Berechenbarkeit exakt beweisen kann, festigt immerhin die Überzeugung, daß man bei allen diesen Untersuchungen einem ganz fundamentalen Begriff auf die Spur gekommen ist.

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