Translationsebenen

Zusammenfassung

Eine affine Ebene A=E _ω , wird als Translationsebene^lbezeichnet [6], wenn die Gruppe T ihrer Translationen, also die Gruppe der zentralen Kollineationen mit Achse ω und Zentrum ∈ω, transitiv ist hinsichtlich der Menge aller Punkte von A. Man erkennt sofort, daß dies gleichbedeutend ist mit der (ω, ω)-Transitivität von E, also mit der Gültigkeit des affinen kleinen Desarguesschen Satzes in A. Nach Satz 38 von S. 101 ist A also genau dann eine Translationsebene, wenn einer — und damit jeder — ihrer Ternärkörper bezüglich O, U, V, E mit UV =ω Quasikörper ist. Nach Satz 25 von S. 38 und Satz 38 von S. 101 kann man zu einem Quasikörper K stets eine Translationsebene angeben, welche bezüglich passend gewählter Punkte O, U, V, E einen zu K isomorphen Ternärkörper besitzt. Eine solche affine Ebene wird im folgenden als Translationsebene über K bezeichnet. Verwendet man die Bezeichnungen von 3.5, so sind die Elemente von T gerade die Abbildungen

$$(x,y) \to (x + a,y + b)$$

denn eine solche ist das Produkt der (V, UV)-Kollineation (x, y)→(x, y + b) mit der (U, UV)-Kollineation (x, y)→(x + a, y) (vgl. S. 100), und sie führt ferner den Punkt 0 = (0, 0) in den beliebig vorgebbaren Punkt (a, b) über. Wegen Satz 31 von S. 91 gilt somit: