Angeordnete Ebenen

Zusammenfassung

Eine in einer Menge M erklärte binäre Relation < wird als Anordnung von M und M dann als geordnet¹ oder angeordnet bezeichnet, wenn die folgenden Bedingungen für alle a, b, c ∈ M erfüllt sind:

• (1) a ≠ b, wenn a < b;

• (2) a < c, wenn a < b und b < c;

• (3) a < b oder b < a, wenn a ≠ b.

Wegen (1) und (2) kann man in (3) „oder“ auch zu „entweder ... oder“ verschärfen. Eine umkehrbare Abbildung σ von M auf eine durch <′ angeordnete Menge heißt ordnungserhaltend, wenn aus a < b stets a^σ <′ b^σ folgt; wegen (3) ist mit σ auch σ⁻¹ ordnungserhaltend. Wie üblich soll a ≦ b bedeuten: a < b oder a = b. Offenbar ist die zu < konverse Relation >, für welche also a > b dasselbe bedeutet wie b < a, wieder eine Anordnung von M; sie wird als die zu < entgegengesetzte Anordnung bezeichnet.