Lernziele
Die Tensorrechnung ist bei der Entwicklung neuer Materialmodelle, zur Beschreibung (geometrisch) komplizierter Flächentragwerke, aber auch in der Strömungslehre ein bedeutsames mathematisches Hilfsmittel. Eine Darstellung von Grundbegriffen, wie indizierte Größen und Summationskonvention, einer Vektoralgebra zur Einführung in die allgemeine Tensoralgebra für Tensoren zweiter und höherer Stufe sowie der Vektor- und Tensoranalysis mit Funktionen skalarwertiger Parameter und einer Theorie der Felder ist heute wichtig, um einer modernen Einführung bereits in die lineare Elastizitätstheorie als Anwendung zu folgen. Der Nutzer soll nach Durcharbeiten des Inhaltes des vorliegenden Kapitels in der Lage sein, alle aktuellen Aufgaben der Tensoralgebra und -analysis mit ihren Anwendungen zu verstehen und durchzuführen.
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Notes
- 1.
Es wird damit deutlich unterschieden zwischen „wirklichen“ Vektoren und Spaltenmatrizen, die in Kap. 1 eingeführt und durch Kleinbuchstaben in Fettdruck gekennzeichnet werden.
- 2.
Ist eine schiefwinklige (affine) Basis abhängig vom jeweiligen Ort, so spricht man manchmal auch von einer „krummlinigen“ Basis in Anlehnung an das zugrunde liegende Koordinatensystem.
- 3.
Für den eigentlichen Euklidischen Vektorraum fallen duale und reziproke Basis zusammen.
- 4.
In der Literatur werden die \(u^{m}\) manchmal auch als Koeffizienten der Komponenten \(u^{\not m}\overrightarrow{e}_{\not m}\) oder oft sogar als Komponenten des Vektors \(\overrightarrow{u}\) bezeichnet.
- 5.
Eine Metrik prägt einem Raum dadurch eine sog. topologische Struktur auf, dass der Begriff der Umgebung eingeführt wird. Dabei spielt insbesondere die Festlegung von Entfernungen und Abständen eine Rolle. Eigentliches Ziel ist es, Konvergenz von Folgen erklären zu können.
- 6.
- 7.
Die Koordinaten \(u_{i}\) und \(u^{i}\) sind also nicht voneinander unabhängig; sie werden deshalb auch als assoziierte Koordinaten des Vektors \(\overrightarrow{u}\) bezeichnet.
- 8.
Der Name rührt daher, dass man den Betrag des Spatprodukts als Volumen der durch die Basisvektoren \(\overrightarrow{e}_{i}\), \(\overrightarrow{e}_{k}\) und \(\overrightarrow{e}_{m}\) aufgespannten Parallelepipeds (Spats) interpretieren kann.
- 9.
In der Literatur werden über \(\det(g_{ik})e_{ikl}=\varepsilon_{ikl}\) bzw. \(\det(g^{ik})e^{ikl}=\varepsilon^{ikl}\) anstelle der \(\varepsilon_{ikl}\) bzw. \(\varepsilon^{ikl}\) auch normierte Permutationssymbole \(e_{ikl}\) bzw. \(e^{ikl}\) benutzt.
- 10.
Dies ist der entscheidende Unterschied zu einer sog. Punkttransformation oder Abbildung. Dort wird das Koordinatensystem beibehalten, aber das „Objekt“ geändert (also z. B. der Vektor \(\overrightarrow{u}\) in einen anderen Vektor \(\overrightarrow{v}\) „abgebildet“).
- 11.
Ein Tensor (2. Stufe) wird manchmal auch als „Dyade“ bezeichnet.
- 12.
Man bezeichnet diesen tensoriellen Produktraum mit \(\mathcal{E}^{3}\otimes\mathcal{E}^{3}\). Er ist neun-dimensional und wird von den tensoriellen Produkten \(\overrightarrow{e}_{i}\otimes\overrightarrow{e}_{k}\) der Basis \(\overrightarrow{e}_{i}\) „aufgespannt“.
- 13.
Wäre \(\overrightarrow{\overrightarrow{\delta}}\) ein Tensor, würde gemäß (2.61) nämlich \(\delta^{ik}=g^{kl}\delta^{i}_{l}\) gelten. Mit der „Ausblend“-Eigenschaft würde daraus \(\delta^{ik}\equiv g^{ki}\) folgen. Dies kann jedoch nicht sein, da i. Allg. \(g^{ki}\neq 1\) oder \(\neq 0\) ist. Also nicht \(\delta^{ik}\) ist der Tensor, sondern \(g^{ik}\) bzw. \(g_{ik},\,g^{\,i}_{k}\), und nur in der gemischtvarianten Darstellung gilt \(g^{\,i}_{k}\equiv\delta^{\,i}_{k}\).
- 14.
- 15.
Im vorliegenden Buch wird insbesondere in Kap. 3 davon Gebrauch gemacht.
- 16.
Die zugehörige kontravariante Basis \({\overrightarrow{e}}^{\;i}\) wird mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation (2.11) eingeführt. Eine zu (2.121) analoge Definition kontravarianter Basisvektoren \({\overrightarrow{e}}^{\;i}=\frac{\partial\overrightarrow{x}}{\partial\xi_{i}}\) ist nicht sinnvoll, weil sie i. Allg. nicht mit (2.11) verträglich ist.
- 17.
In der Ebene sind die beiden „Koordinatenlinien“ in \(P\) die Kurven \(\xi^{1}=\text{const}\) und \(\xi^{2}=\text{const}\). Im Raum sind die drei „Koordinatenlinien“ in \(P\) Schnittkurven der (paarweise geschnittenen) „Koordinatenflächen“ \(\xi^{1}=\text{const}\), \(\xi^{2}=\text{const}\) und \(\xi^{3}=\text{const}\).
- 18.
Die Darstellung des Ortsvektors in krummlinigen Koordinaten ist also \(\overrightarrow{x}=x^{\alpha}\overrightarrow{e}_{\alpha}=x_{\alpha}a_{\alpha}^{\,\cdot\,i}\overrightarrow{e}_{i}\). Mit (2.42)\({}_{1}\) wird man auf \(\overrightarrow{x}=x^{i}\overrightarrow{e}_{i}\) geführt und nicht etwa auf \(\overrightarrow{x}=\xi^{i}\overrightarrow{e}_{i}\). D. h. in krummlinigen Koordinaten sind die Koordinaten eines Punktes \(P(\xi^{1}|\xi^{2}|\xi^{3})\) nicht identisch mit den Koordinaten \(x^{1},x^{2},x^{3}\) des Ortsvektors \(\overrightarrow{x}=x^{i}\overrightarrow{e}_{i}\).
- 19.
Die gleichzeitige Definition einer kontravarianten Ableitung analog zu (2.136) und (2.137) ist nicht sinnvoll, weil die so entstehenden „Tensorkoordinaten“ \((\,)^{|k}\) i. Allg. nicht mit der mittels des Metriktensors \(g^{lk}\) „gezogenen“ kovarianten Ableitung \((\,)_{|l}g^{lk}\equiv(\,)^{|k}\) übereinstimmen.
- 20.
Viele Autoren verwenden diese Bezeichnungen für die wirklichen Winkeländerungen \(\gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy}\), \(\gamma_{xz}=2\varepsilon_{xz}\) und \(\gamma_{yz}=2\varepsilon_{yz}\).
- 21.
Auf die Thematik dieses Kapitels wird übrigens im Rahmen analytischer Methoden der Mechanik (s. Abschn. 4.2.2) nochmals und hinsichtlich einiger Details sogar ausführlicher eingegangen.
Literatur
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Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung, Bd. 2, 2. Aufl. Springer, Wien (1961)
Duschek, A., Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung, Bd. 3. Springer, Wien (1955)
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Green, A.E., Zerna, W.: Theoretical Elasticity, 2. Aufl. Clarendon Press, Oxford (1968)
Klingbeil, E.: Tensorrechnung für Ingenieure. Bibl. Inst., Mannheim (1966)
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Riemer, M.: Technische Kontinuumsmechanik. B.I.-Wiss.-Verlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich (1993)
Schultz-Piszachich, W.: Tensoralgebra und -analysis. Harry Deutsch, Thun/ Frankfurt (1979)
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Riemer, M., Seemann, W., Wauer, J., Wedig, W. (2019). Einführung in die Tensorrechnung. In: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-25613-5_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-25613-5_2
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Publisher Name: Springer Vieweg, Wiesbaden
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