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Aufgabenlösen in der Linearen Algebra

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Wie kommt man darauf?

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die zuvor dargestellten Lösungsprinzipien im Bereich der linearen Algebra angewendet. Neben einigen gebietsspezifischen Strategien wie „Wähle eine Basis!“, „Wähle keine Basis/Arbeite koordinatenfrei!“ und einer Variante des Schubfachprinzips für Vektorräume werden Beispielanwendungen für das Schubfachprinzip, das Induktionsprinzip, das Extremalprinzip und das Invarianzprinzip vorgeführt. Schließlich wird gezeigt, wie das heuristische Rückwärtsarbeiten sowie Beobachtung und Mustererkennung besonders bei Aufgaben helfen, die die Determinante oder die Inverse von Matrizen variabler Größe betreffen. Die erlernten Ansätze können im Rahmen zahlreicher Übungsaufgaben erprobt und vertieft werden.

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Notes

  1. 1.

    Heuristisch ist es häufig fruchtbar, im Falle unendlicher Reihen erst einmal mit einem gewissen „Optimismus“ zu Werke zu gehen und sich um Fragen der Wohldefiniertheit und Konvergenz erst anschließend zu kömmern (was man natürlich nicht vergessen darf). Ein Paradebeispiel für diesen Ansatz ist Eulers Herleitung der Summe der reziproken Quadratzahlen, die z. B. in P2, S. 60 ff, dargestellt ist.

  2. 2.

    Den Hinweis auf diese Aufgabe verdanke ich Lorna Gregory.

  3. 3.

    Ist π eine Permutation von \(\{1,2,\ldots,n\}\) und kann man π durch m Vertauschungen zweier Elemente von \(\{1,2,\ldots,n\}\) erhalten, so ist das Vorzeichen von π gleich \((-1)^{m}\).

  4. 4.

    Wenn es zu schwierig ist, direkt mit Cx,y,n zu arbeiten, versuche ein Analogieuntersuchung: Beispiel 12.23 und Aufgaben 12.7 sowie 12.37 zeigen einen Weg.

  5. 5.

    Zusätzliche Starthilfe: Es ist \(\begin{pmatrix}1&2\\ 2&1\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1\\ -1&2\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-1&-1\\ -1&3&-1\\ -1&-1&3\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2&1&1&1\\ 1&2&1&1\\ 1&1&2&1\\ 1&1&1&2\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&-1&-1&-1\\ -1&4&-1&-1\\ -1&-1&4&-1\\ -1&-1&-1&4\end{pmatrix}\)…

  6. 6.

    Die Aufgabe verdanke ich M. Schweighofer.

  7. 7.

    Hier bezeichnet Sn die Menge der Permutationen der Menge \(\{1,\ldots,n\}\).

  8. 8.

    Tipp: Betrachte \(\mathbb{R}\) als Vektorraum über \(\mathbb{Q}\) und wähle eine Basis, die 1 enthält.

  9. 9.

    Tipp: Betrachte Spezialfälle – und betrachte dazu das Pascalsche Dreieck.

  10. 10.

    Auch hier hilft es, das Pascalsche Dreieck zurate zu ziehen.

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  1. Fachbereich Mathematik und Statistik, Universität Konstanz, Konstanz, Baden-Württemberg, Deutschland

    Merlin Carl

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  1. Merlin Carl
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Carl, M. (2017). Aufgabenlösen in der Linearen Algebra. In: Wie kommt man darauf?. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-18250-2_12

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