Gödel: Ist die Mathematik axiomatisierbar? (1931)

Zusammenfassung

Gibt es eine endliche Menge von Grundsätzen oder Axiomen mit der Eigenschaft, dass alle wahren Sätze der Mathematik nach den Regeln der Logik daraus gefolgert werden können? Im Unterricht an den Hochschulen scheint es fast so: Die reellen Zahlen zum Beispiel werden durch Axiome definiert, die die Rechenregeln, den Umgang mit ”<“ und ”>“ sowie die Vollständigkeit nach außen (kein Ende) und innen (keine Lücken) beschreiben. Die Sätze der Analysis werden auf diese Axiome zurückgeführt. Und doch hat Kurt Gödel 1931 bewiesen, dass kein Axiomensystem die ganze Mathematik oder auch nur die Theorie der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... vollständig beschreiben kann: Wenn es widerspruchsfrei ist, dann gibt es wahre Sätze, die daraus nicht ableitbar sind. Die Widerspruchsfreiheit andererseits kann nicht aus den Axiomen selbst abgeleitet werden.