Lyapunov-Funktionen und Linearisierung

Zusammenfassung

Wir setzen die Untersuchung der Stabilität aus Kap. 7 in diesem Kapitel fort. Insbesondere führen wir hier das Konzept der Lyapunov-Funktionen ein, das sowohl für lineare als auch für nichtlineare Systeme zum Nachweis von Stabilität verwendet werden kann. Speziell werden wir hier Lyapunov-Funktionen für asymptotische und exponentielle Stabilität betrachten. Mit Hilfe dieses Konzepts werden wir dann zeigen, wie man das Eigenwertkriterium aus Kap. 7 mit Hilfe der Linearisierung im Gleichgewicht auf nichtlineare Differentialgleichungen verallgemeinern kann. Zudem stellen wir (ohne Beweis) den Satz von Hartmann-Grobmann vor, der auch im Fall instabiler Gleichgewichte eine Beziehung zwischen dem Verhalten der nichtlinearen Gleichung und ihrer Linearisierung in der Umgebung eines Gleichgewichts herstellt.