Weitere Verfahren

Zusammenfassung

Aus der Methode der Maximum Likelihood kann die Vorschrift der kleinsten Quadrate für Gaußisch verteilte Messgrößen hergeleitet werden. Sie liefert darüber hinaus Antworten bei anders verteilten Messgrößen. Der Grundgedanke ist folgender: Eine Messgröße $x$ folgt der Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x,\lambda )$, die noch von dem unbekannten Parameter $\lambda$ abhängt. Wird der Wert $x_1$ gemessen, so war die Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten proportional zu $f(x_1,\lambda )$. Man spricht von einer a-posteriori-Wahrscheinlichkeit oder Likelihood. Für eine Messreihe $x_1, x_2, \ldots , x_N$ ist die Likelihood dann proportional zu dem Produkt $L = f(x_1,\lambda ) f(x_2,\lambda ) \cdots f(x_N,\lambda )$. Der Parameter $\lambda$ wird nun so bestimmt, dass die Likelihood-Funktion $L$ (oder – gleichbedeutend – ihr Logarithmus $\ell = \ln L$) maximal wird. Das Verfahren kann leicht auf mehrere Messgrößen und Parameter ausgedehnt werden, vgl. [DA], Kap. 7. Im Rechner wird statt des Maximums von $\ell$ das Minimum von $-\ell$ bestimmt. In [DA], Kap. 10, werden Algorithmen der Minimierung an Hand von Beispielen beschrieben.