Zusammenfassung
Im vierten und letzten Kapitel lernen wir die Kraft der Differentialgleichungen kennen. Eine schöne Anwendung ist die „Hundekurve“, in der Rudis Hund seinem Herrchen hinterherläuft. Praktischer und häufiger kommen Differentialgleichungen in Regelungssystemen und bei Aufheiz- und Abklingfunktionen zum Einsatz.
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Notes
- 1.
F. D. C. Willard: How My Ancestors Became Victims To Daffy Dogs. Michigan University Biological Reviews 66 (1991), S. 453–457.
- 2.
Die Geschichte bezieht sich auf „Achilles und die Schildkröte“: Der griechische Philosoph Zenon von Elea behauptete, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Dieses (Schein-)Problem beschäftigte viele Denker seit dieser Zeit. Es berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann. Und die ist in diesem Fall die Lösung des „Überholpunktes“. Es ist die Entfernung „Vorsprung dividiert durch (1– Schildkrötengeschwindigkeit/Achillesgeschwindigkeit)“. Siehe Beetz (2012), Kapitel 6.2 „Reihen und Summen“.
- 3.
Hier übertreibt Eddi ein wenig: Die „Quotientenregel“ hatte er nie erwähnt. Sie besagt in Kurzform: Wenn f(x) = u(x)/ v(x), dann ist [lassen wir das »(x)« mal weg] f’ = (u’v – v’u)/ v2. Der interessierte Leser kann sie genauer nachlesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenregel.
- 4.
Ich folge hier z. T. der Ausarbeitung von Hans Fischer: Hundekurven. Ein einfaches kinematisches Problem und seine mathematische Modellierung. Mathematisch-Geographische Fakultät, Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt (http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/didmath/hund/hundeproblem.html) sowie http://de.wikipedia.org/wiki/Radiodrome (fehlerhaft) bzw. in der englischen Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Radiodrome. Teile der Herleitung von Oscar Bandtlow (persönliche Mitteilung an den Autor). Weitere Herleitung und Animation in http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html.
- 5.
Siehe http://www.fragenohneantwort.de/fragen/235/huhn/. Heute ist das Rätsel gelöst. „Lösungsansatz: Das Ei kam vor dem Huhn.“ SPIEGEL-online vom 26.05.2006. Quelle: http://www.spiegel.de/wissenschaft/natur/0,1518,418233,00.html.
- 6.
Eine Anspielung auf den Film „Männer, die auf Ziegen starren“. Er handelt von einem militärischen parapsychologischen Forschungsprogramm der USA, in dem erforscht werden sollte, ob Soldaten den Gegner mit mentalen Kräften besiegen können. Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Männer,_die_auf_Ziegen_starren.
- 7.
Angelehnt an W. Leonhard, W. Schumacher: Grundlagenlagen der Regelungstechnik. Vorlesungsskript Stand: 24.10.2008S. 17 f. (Institut für Regelungstechnik, Prof. Dr.-Ing. W. Schumacher, Prof. em. Dr.-Ing. Dr. h. c. W. Leonhard, Technische Universität Braunschweig © Institut für Regelungstechnik IfR). Quelle: http://webber.physik.uni-freiburg.de/~hon/vorlss02/Literatur/Ingenieurswiss/Regelungstechnik/Regelungstechnik3.pdf.
- 8.
Nach dem Lehrsatz des italienischer Physikers Torricelli (1608–1647) ist die Ausflussgeschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit, die ein Körper erlangen würde, wenn er vom Flüssigkeitsspiegel bis zur Ausflussöffnung herabfiele (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Ausflussgeschwindigkeit).
- 9.
Beide Zitate aus Carsten Volkery: Rating-Agenturen – Im Teufelskreis der Schuldenrichter. SPIEGEL-online 12.06.2011 (http://www.spiegel.de/wirtschaft/unternehmen/0,1518,767868,00.html).
- 10.
Das Beispiel stammt (leicht modifiziert) aus Josef Raddy: „Was ist eine Differentialgleichung (Teil 2) – Beispiel Fahrrad ausrollen lassen.“ Quelle: http://www.youtube.com/watch?v=47uNqYJ5nfA, erreicht von http://www.mathematik.net. Eine Sammlung von DGLn findet man auch auf http://www.khanacademy.org/#differential-equations. „Kurve 3“ ist eine rein hypothetischer Verlauf (die Abklingkurve an der Geraden gespiegelt).
- 11.
Das ist das „Newtonsche Abkühlgesetz“ (engl. Newton’s Law of Cooling), von Newton 1701 entdeckt. Siehe auch Beispiel in http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/diffeqs/cool.html.
- 12.
Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenschaften_des_Wassers. Verblüffen Sie Ihre Bekannten mit der „Dichteanomalie“, der „Dipoleigenschaft“ (macht Wasser leitfähig) oder einem neuen Namen für H2O: „Dihydrogenmonoxid“.
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Beetz, J. (2014). Die Kraft der Differentialgleichung. In: Integralrechnung für Höhlenmenschen und andere Anfänger. essentials. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-08573-5_4
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