Euklidischer Algorithmus, größter gemeinsamer Teiler (GGT), kleinstes gemeinsames Vielfaches (KGV)

Zusammenfassung

Der Euklidische Algorithmus ist einer der wichtigsten Algorithmen in der gesamten Mathematik und der Begriff des größten gemeinsamen Teilers spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik und im Mathematikunterricht (z.B. in der Bruchrechnung im Zusammenhang mit der Ermittlung des Hauptnenners zweier Brüche, in Verbindung mit dem Kürzen u.s.w.). Es gibt höchst unterschiedliche Verfahren zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen a und b: Im Schulunterricht wird überwiegend eine Methode praktiziert, die auf der Primfaktorzerlegung der Zahlen a und b beruht (vgl. Kapitel 4). Historisch, sowie aus Optimalitäts- und innermathematischen Gründen ist andererseits der Euklidische Algorithmus zur Ermittlung des GGT von größter Bedeutung. Er bietet darüber hinaus den Vorteil, dass er sehr anschaulich zu beschreiben ist, dass er im engsten Zusammenhang mit einem grundlegenden Thema des Primarstufenunterrichts steht, nämlich mit dem Verfahren der Division mit Rest, dass er intensiv mit anderen wichtigen mathematischen Themen vernetzt ist (Kettenbrüche, Fibonacci-Zahlen, Goldener Schnitt, Restklassenringe, Verschlüsselungsverfahren: Public Key Cryptography, RSA-Verfahren, ...) und dass er in natürlicher Weise zu fundamentalen philosophischen Fragen führt (Kommensurabilität).

Die entscheidende Idee des Euklidischen Algorithmus besteht darin, den Satz von der Division mit Rest nach dem Prinzip der „Wechselwegnahme“ zu iterieren. Hilfreich ist auch hierbei wieder die geometrische Deutung der Situation im Sinne der griechischen Mathematik in der Antike (d.h. die Deutung der Zahlen a und b als Strecken). Zur Durchführung des Euklidischen Algorithmus ersetzt man nach der Division mit Rest die ursprünglich größere Zahl a durch die ursprünglich kleinere Zahl b und b durch den Rest r. Mit diesen Zahlen verfährt man wiederum nach dem Prinzip der Wechselwegnahme und nimmt dabei jeweils die kleinere so lange von der größeren weg wie es geht, d.h. bis eine der Zahlen gleich Null ist.