Zusammenfassung
Die kommerziell verfügbaren FEM-Programmsysteme bieten eine Vielzahl von Elementen an, die in Stab-, Balken-, Scheiben-, Platten-, Schalen-, Volumen- und Kreisring-Elemente charakterisiert werden können. Diese Elemente werden überwiegend dreidimensional beschrieben und durch Sperren einzelner Freiheitsgrade dann ein- oder zweidimensionalen Problemen angepasst. Im Folgenden wollen wir uns exemplarisch mit einigen Elementen auseinandersetzen, um grundsätzliche Prinzipien zu erkennen. Aus diesem Grund sind hier unterschiedliche Beschreibungsmöglichkeiten gewählt worden.
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Notes
- 1.
Anmerkung: Werden die Lasten so groß, dass die Mittelebene ausbeult, geht die Scheibe in eine Platte über.
- 2.
Anmerkung: Für die Nummerierung der Knoten entgegen dem Uhrzeigersinn lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks mit \(2A=\det\text{N}_{\text{u}}\) angeben.
- 3.
Anmerkung: In der Literatur wird mit\(\textbf{S}=\text{{E}}\cdot\textbf{B}\) die Spannungsmatrix bezeichnet.
- 4.
Anmerkung: In (7.50) ist \(\text{\text{dV}\, =\, \text{dx}}\cdot\text{dy}\cdot\text{t}=(a\cdot\text{d}\xi)\cdot(\text{b}\cdot\text{d}\eta)\cdot\text{t}\).
- 5.
Anmerkung: Das hergeleitete Element ist ein so genanntes „locking freies“ Element, d. h. es versteift nicht durch einen zu hohen Schubwiderstand. Dies resultiert daraus, dass der Verschiebungsansatz der exakten Lösung der Biege-DGL entspricht. Das Element würde hingegen „blockieren“ bei einem linearen Ansatz.
- 6.
Anmerkung: Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix (nach C. G. J. Jacobi, *1804, \({\dagger}\)1851) ist die Darstellung sämtlicher erster partieller Ableitungen einer Funktion.
- 7.
Anmerkung: Bei finiten Flächenelementen werden an den Gauß-Punkten in der Regel auch die Elementspannungen angegeben.
- 8.
Anmerkung: Bei dicken Platten oder Sandwichplatten muss der Schubeinfluss berücksichtigt werden. Hierfür ist der „Reissner-Mindlin-Ansatz“ am besten geeignet. In vielen FE-Programmen ist dies für Platten die Voreinstellung.
- 9.
Anmerkung: Für das Vorzeichen ist eingeplant: positive Durchbiegung nach unten und positives Moment erzeugt negative Krümmung.
- 10.
Anmerkung: m\({}_{\text{x}}\); m\({}_{\text{y}}\) bezeichnen Biegemomente je Seitenlänge m\({}_{\text{xy}}\); m\({}_{\text{yx}}\) bezeichnen Drillmomente je Seitenlänge n\({}_{\text{x}}\); n\({}_{\text{y}}\) bezeichnen Normalkräfte je Seitenlänge q\({}_{\text{x}}\); q\({}_{\text{xy}}\); q\({}_{\text{y}}\); q\({}_{\text{yx}}\) bezeichnen Querkräfte je Seitenlänge
- 11.
Anmerkung: Green-Lagrange’sche-Verzerrungen bei großen Geometrieänderungen setzen sich aus einem kleineren linearen Anteil und einem größeren geometrisch nichtlinearen Anteil wie folgt zusammen: \(\begin{array}[]{l}\varepsilon_{\text{xx}}=\frac{\partial\text{u}}{\partial{\kern 1.0pt}x}+\frac{1}{2}\;\left({\frac{\partial{\kern 1.0pt}w}{\partial{\kern 1.0pt}x}}\right)^{2},\;\;\;\varepsilon_{\text{yy}}=\frac{\partial\text{v}}{\partial{\kern 1.0pt}\text{y}}+\frac{1}{2}\;\left({\frac{\partial{\kern 1.0pt}\text{w}}{\partial{\kern 1.0pt}\text{y}}}\right)^{2},\\ \gamma_{\text{xy}}=\left({\frac{\partial{\kern 1.0pt}\text{u}}{\partial{\kern 1.0pt}y}+\frac{\partial{\kern 1.0pt}\text{v}}{\partial{\kern 1.0pt}\text{x}}}\right)+\left({\frac{\partial{\kern 1.0pt}\text{w}}{\partial{\kern 1.0pt}\text{x}}\cdot\frac{\partial{\kern 1.0pt}\text{w}}{\partial\text{y}}}\right)\\ \end{array}\)
- 12.
Anmerkung: Arbeit \(\equiv W=\frac{1}{2}\int\limits_{\text{V}}{\sigma\cdot\varepsilon\cdot\text{dV}=\frac{1}{2}\int\limits_{A}{\frac{\text{n}_{\text{x}}}{t}\cdot\left({\frac{\partial\text{w}}{\partial\text{x}}}\right)^{2}\;t\cdot\text{dA}+\ldots}}\)
- 13.
Anmerkung: Beulen tritt nur aus einem Anfangsbiegezustand heraus auf, daher gilt: Beulzustand minus Anfangsdurchbiegung \(=\) (instat.) Verformungsarbeit
- 14.
Anmerkung: Falls hier die Spannungsverteilung über die Dicke interessieren sollte, müssen 2–3 Elementreihen gewählt werden.
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Klein, B. (2015). Elementkatalog für elastostatische Probleme. In: FEM. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-06054-1_7
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Publisher Name: Springer Vieweg, Wiesbaden
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