Iteration: Ein Weg zu Ordnung & Chaos

Zusammenfassung

Ordnung und Chaos - zwei gegensätzliche Begriffe, die unvereinbar scheinen: Wie kann für ein System, dass durch seine Gleichungen vollkommen determiniert und berechenbar ist, manchmal sehr zuverlässig eine Prognose über sein zukünftiges Verhalten gegeben werden, manchmal aber überhaupt nicht? Trotz völliger Transparenz ″lokaler″ Zusammenhänge, die in Iterationsschritten modelliert werden, ist das langfristige Verhalten nicht immer zuverlässig berechenbar.

Den Ursachen, Wirkungen und verborgenen Strukturen dieser fundamentalen Unbestimmtheit in deterministischen chaotischen Systemen wird hier nachgegangen. Dabei wurde einerseits das Ziel verfolgt, schwierige Sachverhalte für Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar aufzubereiten und andererseits einen Weg zu finden, der mathematisch ehrlich ist und zum entdeckenden Lernen anregt.

Eine zentrale Beobachtung auf dem Weg von Ordnung zu Chaos ist, dass in den betrachteten Iterationsgleichungen Parameterbereiche auftreten, in denen eine kleine Änderung der Startwerte nach wenigen Iterationsschritten zu völlig anderen Werten als ursprünglich führt. Es gilt nicht mehr, dass ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen haben; eine langfristige Vorhersage über auftretende Werte ist damit grundsätzlich nicht mehr möglich. Dass in dem scheinbar völlig regellosen Auf und Ab der Werte im deterministischen Chaos dennoch ein hohes Maß an Struktur steckt ist eine weitere überraschende Entdeckung.