Normale Räume

Zusammenfassung

Abbildungen f: X → ℝ werden im Folgenden kurz Funktionen genannt. Es wird die Frage nach der Vielfalt stetiger Funktionen auf einem Raum untersucht, wie z.B.: Gibt es zu zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen A und B aus einem topologischen Raum X eine stetige Funktion f: X → ℝ, die auf den Mengen A und B vorgeschriebene Werte a bzw. b annimmt? Lässt sich eine auf einer abgeschlossenen Menge A erklärte und dort stetige Funktion auf ganz X stetig fortsetzen? Wir zeigen, dass beide Fragen für normale X eine positive Antwort haben. Eine Konsequenz ist, dass es auf normalen Räumen „viele“ stetige Funktionen gibt, was für allgemeine topologische Räume keines weg der Fall zu sein braucht; für einen indiskreten Raum sind z.B. nur die konstanten Funktionen stetig.