Zusammenfassung
So wie man eine Immersion auf verschiedene Weisen parametrisieren kann, lässt sich auch ein Riemannsches Gebiet (U, g) in unterschiedlichen Koordinaten beschreiben, wie wir in 11.1 gesehen haben. Zu anderen Koordinaten überzugehen bedeutet auf U einen Diffeomorphismus \( \phi :U\to \tilde{U} \) anzuwenden und eine Riemannsche Metrik \( {\tilde{g}} \) auf \( {\tilde{U}} \) so zu definieren, dass ϕ eine Isometrie wird, vgl. (11.4), (11.7). Alle Koordinatensysteme beschreiben dieselbe Geometrie, aber manche sind besser an die Geometrie angepasst als andere. Zum Beispiel benutzen wir im euklidischen Raum gerne lineare rechtwinklige Koordinaten, in denen sich das euklidische Skalarprodukt als \( {{g}_{ij}}={{\delta }_{ij}} \) schreibt. Bei Kurven (\( m=1 \)) war die Parametrisierung nach der Bogenlänge am besten der Geometrie angepasst (vgl. Lemma 2.1.2). Im Abschnitt 8.4 hatten wir für Flächen (\( m=2 \)) die konformen Parameter kennengelernt, in denen g die einfache Form \( {{g}_{ij}}={{\lambda }^{2}}{{\delta }_{ij}} \) annimmt. In diesem Abschnitt wollen wir die Koordinaten \( u=\left( {{u}^{1}},...,{{u}^{m}} \right) \) auf U so wählen, dass
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Notes
- 1.
\( \overset{\hat{\ }}{\mathop{\xi }}\, \) entspricht der Abbildung \( \overset{\hat{\ }}{\mathop{X}}\, \) in Abschnitt 4.4.
- 2.
Die Reihenfolge der Koordinaten wurde hier wie auch im nächsten Beispiel vertauscht; die Koordinate, deren Parameterlinien Geodäten sind, ist t anstelle von u 1.
- 3.
Eine Differentialgleichung wird entlang einer Lösung a linearisiert, indem man sich von α aus die Nachbarlösungen ansieht: Ist \( {{a}_{s}},s\in (-\in ,\in ) \) eine Schar von Lösungen mit \({{\alpha }_{0}}=\alpha \), so erfüllt das Variationsvektorfeld \(\delta \alpha =\frac{\partial }{{{\partial }_{s}}}{{\alpha }_{s}}\left| s=0 \right.\) die linearisierte Differentialgleichung (siehe Abschnitt B.4). Im Falle der geodätischen Koordinaten sind e 2, … , e m Variationsvektorfelder einer Schar von Geodäten, nämlich der u 1-Parameterlinien.
- 4.
Henri Poincaré, 1854 (Nancy) – 1912 (Paris).
- 5.
Dieses ist zwar nicht positiv definit auf \( {{\mathbb{R}}^{3}} \), wird es aber bei Einschränkung auf einen beliebigen Tangentialraum von P 2.
- 6.
Felix Klein, 1849 (Düsseldorf) – 1925 (Göttingen).
- 7.
Die reelle Projektive Ebene \( \mathbb{R}{{P}^{2}} \) ist nach Definition die Menge aller eindimensionalen linearen Unterräume des Vektorraums \( {{\mathbb{R}}^{3}} \), vgl. Abschnitt 7.5. Die eindimensionalen Unterräume heißen „Punkte“, die zweidimensionalen „Geraden“. Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn die entsprechenden Unterräume ineinander enthalten sind. Jeder Punkt einer affinen Ebene \( E\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \), die den Nullpunkt nicht enthält, spannt genau einen eindimensionalen linearen Unterraum auf; damit lässt sich E (als offene Teilmenge) in \( \mathbb{R}{{P}^{2}} \) einbetten. Die Gruppe \( G{{L}_{3}}(\mathbb{R}) \) aller invertierbaren reellen 3 Ü 3-Matrizen operiert auf \( \mathbb{R}{{P}^{2}} \), wobei die skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix I gar nichts tun; die Projektive Gruppe ist deshalb \( PG{{L}_{3}}(\mathbb{R})=G{{L}_{3}}(\mathbb{R})/{{\mathbb{R}}^{*}} \). Diese Transformationen sind projektiv, d.h. sie bilden Geraden auf Geraden ab.
- 8.
Jede Möbiusabbildung auf der Nordhalbkugel \( S_{+}^{m} \) definiert durch Einschränkung eine Möbiusabbildung auf dem Äquator \( {{\text{S}}^{m-1}}=\partial S{}_{+}^{m}\,\cdot \) Umgekehrt lässt sich jede Möbiusabbildung auf S m−1 eindeutig zu einer Möbiusabbildung auf \( S_{+}^{m} \) fortsetzen; dies folgt aus der Darstellung solcher Abbildungen als Lorentztransformationen (vgl. Bemerkung S. 93f), denn die Lorentzgruppe O(m, 1) ist kanonisch in O(m + 1, 1) eingebettet.
- 9.
Janós Bolyai, 1802 (Kolozsvár, Cluj, Klausenburg; Ungarn, heute Rumänien) – 1860 (Marosvásárhely, Târgu Mureş, Neumarkt; Ungarn, heute Rumänien); Nikolai Ivanowitsch Lobatschewski, 1792 (Nizhny Nowgorod) - 1856 (Kasan).
- 10.
Man mache sich die Verhältnisse beim Schälen einer Apfelsine oder beim Zerschneiden eines Apfels klar!
- 11.
Pierre Ossian Bonnet, 1819 (Montpellier) – 1892 (Paris).
- 12.
\({{\alpha }^{\prime }}=({{t}_{i}}+):={{\lim }_{t\searrow {{t}_{i}}}}{{\alpha }^{\prime }}(t)\) und \({{\alpha }^{\prime }}=({{t}_{i}}-):={{\lim }_{t\nearrow {{t}_{i}}}}{{\alpha }^{\prime }}(t)\).
- 13.
Bei \( \overset{*}{\mathop{=}}\, \) wirde der Satz von Stokes (Satz A.1.1) verwendet; wenn P ein Rechteck ist, kann man auch direkt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzen.
- 14.
Dort wird nur k = ±1 behauptet, aber bei richtiger Wahl der Durchlaufrichtung von α, nämlich so, dass P immer links von \(\alpha =\partial P\) liegt, folgt k = 1. Der Satz 2.4.1 wurde allerdings nur für glatte Kurven bewiesen. Es ist aber nicht schwer, den Beweis auf stückweise glatte Kurven zu verallgemeinern oder diese durch glatte Kurven zu approximieren.
- 15.
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit M mit einem Skalarprodukt g p auf jedem Tangentialraum T p M, p ∊ M, dessen Koeffizienten in einer Karte differenzierbar vom Punkt p abhängen. In lokalen Koordinaten ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nichts anderes als ein Riemannsches Gebiet, d.h. für jede lokale Parametrisierung \( \upsilon :S\to {{S}^{m-1}} \) definieren die Funktionen \({{g}_{ij}}(u):={{{\hat{g}}}_{\phi (u)}}({{\phi }_{i}}(u),{{\phi }_{j}}(u))\) eine Riemannsche Metrik g auf U.
- 16.
Die Levi-Civita-Ableitung D wird oft als Zusammenhang bezeichnet, weil sie (durch die Parallelverschiebung) einen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Tangentialräumen herstellt; daher der Name „Zusammenhangsform“.
- 17.
Elie Joseph Cartan, 1869 (Dolomieu, Savoyen) - 1951 (Paris).
- 18.
Für jede positiv definite symmetrische Matrix g auf ℝm gilt: Ist \( V=({{\upsilon }_{1}},...,{{\upsilon }_{m}}) \) eine g-Orthonormalbasis, so gilt \(\left\langle {{v}_{i}},g{{v}_{j}} \right\rangle ={{\delta }_{ij}}\) oder in Matrixform \({{V}^{T}}gV=I\). Damit folgt \( 1=\det ({{V}^{T}}gV)={{(\det V)}^{2}} \) det g und somit det \(\det V=1/\sqrt{\det g}\).
- 19.
Der Winkel φ(u) ist nur bis auf eine Konstante in 2πℤ bestimmt und vielleicht gar nicht als stetige Funktion auf ganz U definierbar, aber für die partiellen Ableitungen spielt die Konstante keine Rolle, diese sind deshalb auf ganz U eindeutig definiert.
- 20.
Es gibt auch den abstrakten Begriff der Mannigfaltigkeit, der auf den umgebenden Raum ℝn ganz verzichtet; vgl. z.B. [27].
- 21.
Andere kompakte orientierte Flächen gibt es nicht; ein Beweis findet sich z.B. in [45], S. 225 ff oder auf andere Weise in [20], S. 200–207.
- 22.
Für „Hyperflächen“ in , nämlich ebenen Kurven (m = 1), entspricht d(ν) der Tangentendrehzahl.
- 23.
C.B. Allendoerfer: The Euler number of a Riemann manifold, Amer. J. Math. 62, 243–248 (1940), C.B. Allendoerfer, A. Weil: The Gauss-Bonnet theorem for Riemannian polyhedra, Ann. Math. 45 (1944), 747–752.
- 24.
W.Fenchel: On the total curvatures of Riemannian manifolds, J. London Math. Soc. 15, 15–22 (1940)
- 25.
S.S.Chern: A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds, Ann. Math. 45 (1944), 747–752
- 26.
Shiing-shen Chern, 1911–2004: Chia-hsing (= Jiaxing, Zhejiang, China), Tientsin (= Tianjin, China), Hamburg, Paris, Princeton, Chicago, Berkeley, Tianjin
- 27.
Das ist die übliche Metrik auf \( {{S}^{2}}\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) ,die durch die stereographische Projektion \(\Phi ={{\mathbb{R}}^{2}}\to {{\text{S}}^{2}}\) auf \({{\mathbb{R}}^{2}}\) zurückgeholt worden ist, vgl (7.35).
- 28.
Eine Einordnung dieses Sachverhalts vom Standpunkt der Riemannschen Geometrie findet sich in: M. Lovrić, M. Min-Oo, E. Ruh: Multivariate normal distributions parametrized as a Riemannian symmetric space, Journal of Multivariate Analysis, 74 (2000), 36–48
- 29.
Polyeder = Körper mit vielen ebenen Seitenflächen, Polygon = ebenes Vieleck (mit der griechischen Vorsilbe „poly-“ für „viel“).
- 30.
Die Gaußkrümmung ist eigentlich keine Funktion K, sondern ein Maß Kd A auf der Fläche; bei einer Polyederfläche ist dieses Maß in den Eckpunkten konzentriert.
- 31.
Weil man jede Fläche durch eine Polyederfläche beliebig genau approximieren kann, kann dies als ein anderer Beweis dafür angesehen werden, dass die Gaußkrümmung eine Größe der inneren Geometrie und damit invariant bei isometrischen Deformationen ist. Die Beweisidee stammt aus dem schönen klassischen Buch von Hilbert und Cohn-Vossen [18].
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Eschenburg, JH., Jost, J. (2014). Krümmung und Gestalt. In: Differentialgeometrie und Minimalflächen. Springer-Lehrbuch Masterclass. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-38522-3_12
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