Zusammenfassung
Mit den in den Kap. 2–4 gelernten Verfahren üben wir Differenzieren und Integrieren und untersuchen die Umkehrfunktionen zu den Kreisfunktionen. Wir üben Vektorrechnung in polaren und kartesischen Koordinaten, errichten die Mittelsenkrechte auf einer Strecke, legen Tangenten an und errichten Senkrechten auf Kurven.
Wir zerlegen und addieren Vektoren in der Ebene. Die mathematische Konstruktion des gewichteten Mittelwertes, der in allen Kapiteln sinnvoll eingesetzt werden kann, wird anhand des Kräftegleichgewichts eines Mobiles erläutert.
In diesem Kapitel lernen wir zwei neue Verfahren kennen:
-
Matrixrechnung (Multiplikation, Umkehrmatrix), um lineare Gleichungssysteme (Beispiel elektrische Netzwerke) zu lösen und
-
Optimierung mit der SOLVER-Funktion in Tabellen und Makros, um nichtlineare Gleichungen (Beispiel Langevin-Funktion des Ferromagnetismus) zu lösen.
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Notes
- 1.
Cos (berechnet als Cos (x)) muss über x aufgetragen werden, weil es die theoretische erste Ableitung von sin (berechnet als Sin (x)) an der Stelle x ist.
- 2.
Die Ableitung der Ortskurve ist gerade die Geschwindigkeit. Bei den Nulldurchgängen der Auslenkung (hier sin) ist die Geschwindigkeit (erste Ableitung) dem Betrage nach am größten, bei den Maxima (den Umkehrpunkten der Bewegung) verschwindet sie.
- 3.
Für sin in C8 wird der Wert aus derselben Reihe im Spaltenbereich mit Namen sin eingesetzt, also B8.
- 4.
Die Tabellenformel in C5 setzt Gl. 5.3 um.
- 5.
Eine Periodendauer hat dann die Länge 1, eine Viertel Periodendauer (π/2) die Länge 0,25, eine halbe Periodendauer (π) die Länge 0,5, also immer bei glatten Dezimalzahlen.
- 6.
Dann erhält man eine Amplitude der Größe –1, die sich im Diagramm leichter nachprüfen lässt.
- 7.
Für das erste Trapez von links.
- 8.
C7 = [0], Wert zu Beginn der Integration.
- 9.
α res = α 1 – α 2 ist der Winkel, der von den beiden Vektorpfeilen eingeschlossen wird.
- 10.
α res = α 1 – α 2 = 130° (in D2) – 24° (in D4) = 106°; 90° < 106° < 270°.
- 11.
–Res = (–5,86; 2,99); senkrecht stehende Kraft + oder – (2,99; 5,86).
- 12.
U3 = [ = x.A], U4 = [ = x.A-Res.y*scal], U7 = [ = P4] (Spitze von F1); in U8 = [ = P10] (Spitze von Res), in U9 = [ = P7] (Spitze von \( \overrightarrow {{F_{2} }} \)).
- 13.
Die Achsen in Abb. 5.9b sind gleich lang. Das entspricht aber nicht den Skalierungen –1 bis 5 und –1 bis 2.
- 14.
Die y-Achse in Abb. 5.9b muss halb so lang gezeichnet werden wie die x-Achse, sodass die Länge der Achsen ihrer Skalierung (Max.–Min.), also 6 bzw. 3 entspricht.
- 15.
Die Komponenten des senkrechten Vektors müssen durch die Länge der Strecke geteilt werden, hier also durch \( \sqrt {7^{2} + 2,9^{2} } \) = Wurzel((x 2 – x 1)² + ((y 2 – y 1)²).
- 16.
In (L6, N6) von Abb. 5.12 (T) stehen die Koordinaten des Mittelpunktes der vorgegebenen Strecke.
- 17.
\( F_{x} = F_{y} /\tan \left(\upbeta \right)\).
- 18.
G3 = [ = G2+scal*V x], I6 = [ = I5+scal*V y].
- 19.
Die Vektorsumme von zur Ebene senkrechter und zur Ebene paralleler Projektion ergibt den ursprünglichen Vektor. Die zur Ebene senkrechte Komponente ist also die Vektordifferenz des ursprünglichen Vektors und seiner Projektion auf die Ebene.
- 20.
Länge \( l = \sqrt {\left( {x_{2} - x_{1} } \right)^{2} + \left( {y_{2} - y_{1} } \right)^{2} } ;\,e_{x} = (x_{2} - x_{1} )/l;\,e_{y} = (y_{2} - y_{1} )/l \).
- 21.
=SUMMEXMY2(E7:E8;F7:F8).
- 22.
Weil die Formeln in diesen Zellen möglicherweise durch die Solver-Funktion überschrieben wurden.
- 23.
Indem Routinen von der Form Sub ScrollBar2_ Change wie in Abb. 5.28 (P) eingeführt werden.
- 24.
Die Anfangswerte sind x = –3 und +3. Sie sind für alle y-Achsenabschnitte gleich, weil sie innerhalb der Schleife „cg =“ ab Zeile 11 in Abb. 5.27 (P) immer neu gesetzt werden.
- 25.
Zwischen den Koordinaten der Punkte stehen leere Zellen, z. B. J9:K9.
- 26.
Benachbarte Punkte auf der Kurve haben dann etwa denselben Abstand zueinander.
- 27.
F3 = [ = SUMMEXMY2(m, tanh)].
- 28.
Die Umkehrfunktion lautet x = x(y). Man muss in der Tabelle nur die beiden Spalten für x und y vertauschen.
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Mergel, D. (2017). Mathematische Grundtechniken. In: Physik mit Excel und Visual Basic. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-37857-7_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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