Zusammenfassung
1986 veröffentlichte Michael Detlefsen Hilbert’s Program, die bisher einzige Monographie zum Hilbertprogramm. Der Untertitel "An Essay on Mathematical Instrumentalism" bezeichnet das Programm des Buches: Eine instrumentalistische Auffassung des Hilbertprogramms zu entwickeln und argumentativ zu verteidigen. In diesem Kapitel sollen an diese Auffassung zwei Fragen gestellt werden: Erstens: Ist das HP in diesem instrumentalistischen Rahmen überhaupt adäquat interpretiert? Und zweitens: Ist der mathematische Instrumentalismus, wie Detlefsen ihn beschreibt, eine plausible Philosophie der Mathematik?
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Notes
- 1.
Detlefsen, Hilbert's Program [1986]. Verweise auf Detlefsens Buch werden in diesem Kapitel durch in Klammern gesetzte Seitenzahlen angegeben.
- 2.
Instrumentalism is „the belief that the epistemic potency of T (i.e., the usefulness of items of T as devices for obtaining valuable epistemic attitudes toward genuine propositions of some sort) can be accounted for without treating the elements of T literally (i.e., as genuine propositions and proofs)“ (3).
- 3.
Also beispielsweise nur dann „Es gibt eine Primzahl kleiner als 10“ behaupten darf, wenn man annimmt, daß es so etwas wie Zahlen gibt, und zwar insbesondere Primzahlen, die kleiner sind als 10.
- 4.
Die Kritik gilt für andere Entwürfe natürlich nur in Abhängigkeit vom zugrundeliegenden Instrumentalismusbegriff. Beispielsweise soll sie sich auch auf solche beziehen, die unter einer „instrumentalistischen“ Auffassung der nicht-finiten Mathematik verstehen, daß sie ihren „Lebensunterhalt“ dadurch „verdienen müssen“, daß sie für die Ableitung korrekter realer Aussagen von Nutzen sind; vgl. etwa George/Velleman, Philosophies [2002], bes. S. 158.
- 5.
So führt Hilbert z. B. in Über das Unendliche ganz deutlich aus, daß wir in der Beweistheorie „die Zeichen und Operationssymbole des Logikkalküls losgelöst von ihrer inhaltlichen Bedeutung“ betrachten; vgl. Hilbert, Über das Unendliche [1926], 177. Die logischen Symbole haben also eine inhaltliche Bedeutung, nur werden sie hier anders aufgefaßt, indem diese Bedeutung ausgeblendet wird.
- 6.
Es spricht vieles dafür, daß eine Korrektheitsforderung bzgl. der Standardsemantik der natürlichen Zahlen auch für Hilbert selbstverständlich mitlief. Im Rahmen der Geometrie müßte man das wohl zurückhaltender sehen, da für Hilbert euklidische und nichteuklidische Geometrien wohl gleichrangig waren.
- 7.
Vgl. Hilbert, Grundlagen Mathematik [1928], 15.
- 8.
Daneben formuliert Hilbert auch gelegentlich eine Art Vollständigkeitsbedingung bezüglich „beobachteter physikalischer Gesetze“: Die Axiome sollen so gewählt sein, daß alle diese Gesetze logisch aus ihnen folgen; vgl. Hilbert, Axiomatisches Denken [1918], 151.
- 9.
Das Zitat lautet im englischen Original: „The ontological commitments of mathematics are located not in those parts of mathematics which we use to acquire knowledge, but rather in those propositions which are used to establish the reliability of the mathematics thus used.“
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Tapp, C. (2013). Instrumentalismus. In: An den Grenzen des Endlichen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_8
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-29653-6
Online ISBN: 978-3-642-29654-3
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