Zusammenfassung
Ist das Hilbertprogramm mit den Gödelsätzen gescheitert? – Diese Frage ist selbstverständlich für das Hilbertprogramm von größter Relevanz und eine Studie zum HP kann sich von der Aufgabe, diese Frage zu behandeln, nicht dispensieren.
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Notes
- 1.
Brief von John von Neumann an Rudolf Carnap vom 7.6.1931, Nachlaß Rudolf Carnap, Sig. RC 029-08-01; vgl. auch Mancosu, Between Vienna [1999a], 39–40.
- 2.
Hilbert/Bernays, Grundlagen I [1934], V
- 3.
Gödel hatte in seiner berühmten Arbeit Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I nur eine Skizze des Beweises des zweiten Unvollständigkeitssatzes gegeben; vgl. Gödel, Formal unentscheidbare [1931]. Der erste eigentliche Beweis wurde – im hier untersuchten Zusammenhang müßte man eigentlich sagen: ironischerweise – im Hilbert-Bernays II publiziert; vgl. Hilbert/Bernays, Grundlagen II [1939], 285–328.
- 4.
Zur Rezeption der Gödelsätze siehe Dawson, Incompleteness [1991]; Grattan-Guinness, In Memoriam [1979]; Grattan-Guinness, Development [1981]; Grattan-Guinness, Logics [1994]; Mancosu, Between Vienna [1999a].
- 5.
Vgl. Gödel, Erweiterung [1958].
- 6.
Dazu gibt es eine Unmenge von Belegen. Vgl. bspw. die Einschätzung seiner Logiker-Kollegen Mostowski, Kleene und Sacks in Crossley, Reminiscences [1974], 11.
- 7.
So auch Stephen Kleene in seiner Einleitung zu Gödels Unvollständigkeitsaufsatz im ersten Band der Gödel-Gesamtausgabe (Kleene, Introductory note [1986], 137).
- 8.
„Schlick-Zirkel“, Protokoll vom 15.1.1931, Nachlaß Rudolf Carnap, Sig. RC 081-07-07; vgl. auch Stadler, Wiener Kreis [1997], 278–280; Mancosu, Between Vienna [1999a], 36–39. – Der Kontext und der ganze Duktus der Gödelschen Darlegungen zeigen nochmals, daß es unmöglich ist, seine Zurückhaltung im Bezug auf die Implikationen seiner Resultate als bloßes „Kuschen“ vor Hilberts Autorität zu erklären.
- 9.
Brief von John von Neumann an Rudolf Carnap vom 7.6.1931, Nachlaß Rudolf Carnap, Sig. RC 029-08-01; vgl. auch Mancosu, Between Vienna [1999a], 39–40.
- 10.
Brief von John von Neumann an Hans Reichenbach, Sig. HR 015-25-02, undatiert, wahrscheinlich vom Sommer 1931; vgl. Mancosu, Between Vienna [1999a], 42.
- 11.
Es ist aus Hilberts Formulierung nicht völlig klar, ob es sich um eine Schlußregel im engeren Sinne handeln soll. Die Formulierung legt eher nahe, daß es sich um eine Metaregel zur Erweiterung des Axiomensystems handelt. Kurt Gödel hat sie als Schlußregel gelesen (Rezension von Hilbert, Grundlegung Zahlenlehre [1931], in: Zentralblatt Mathematik 1, 260), und so ist sie wohl auch intendiert.
- 12.
Wenn Hilbert die Omega-Regel für finit gerechtfertigt hielt, dachte er wohl daran, daß der Nachweis, daß \(\mathfrak{A}(\mathfrak{z})\) für beliebiges \(\mathfrak{z}\) eine richtige numerische Formel ist, durch ein finites Verfahren gegeben wird. Möglicherweise schwebte ihm also vor, daß die Prämissen der Omega-Regel durch eine (etwa primitiv-rekursive) Funktion aufgezählt werden. Für solche Systeme gelten die Gödelschen Sätze jedoch auch. Vgl. Ambos-Spies, Unvollständigkeitssätze [1976]. (Für diesen Hinweis danke ich Wolfram Pohlers.)
- 13.
Hilbert, Tertium non datur [1931a].
- 14.
So Feferman, Gödel 1931c [1986], 208.
- 15.
Gentzen, Widerspruchsfreiheit [1936a], 8.
- 16.
Vgl. Hilbert/Bernays, Grundlagen II [1939], 285–328.
- 17.
Vgl. Mostowski, Thirty Years [1966], 7,18–19; Pohlers, Proof Theory [1989], 4; Smorynski, Hilbert's Programme [1988], IV.80; Tait, Finitism [1981]; und – ohne expliziten Bezug auf die Gödelsätze – Sieg, Relative Consistency [1990], 259.
- 18.
Vgl. Dawson, Kurt Gödel [1984], 6: „… ironically, overturned Hilbert's Programme (at least as originally envisioned)“; Hendricks/Pedersen/Jørgensen, Proof Theory [2000], 1: „… made it impossible to carry out Hilbert's program in its original form“.
- 19.
So Gentzen, Widerspruchsfreiheit [1936a], 8, zumindest im Bezug auf die Zahlentheorie; ähnlich auch Resnik, Frege [1980], 91. – Für Gentzen bleibt die grundlagentheoretische Relevanz solcher Beweise unangetastet, insofern die metatheoretisch verwendeten Beweismittel als sicherer gelten können als die der betrachteten Objekttheorie.
- 20.
Schütte, Proof Theory [1977], 2–3.
- 21.
Vgl. das Vorwort zu Hilbert/Bernays, Grundlagen I [1934], V. Ob die „schärfere Ausnutzung“ mit der Erweiterung der Beweismittel aus der vorigen Position zusammenfällt, kann hier offen bleiben.
- 22.
Vgl. Simpson, Subsystems [1999]. Darin wird zum Beispiel gezeigt, daß über einer schwachen Basistheorie mit rekursiver Komprehension, RCA 0, folgende mathematischen Sätze zum schwachen Lemma von König (WKL 0) äquivalent sind: Der Überdeckungssatz von Heine-Borel für kompakte metrische Räume, das Maximumprinzip, die Riemann-Integrierbarkeit von reellwertigen Funktionen auf kompakten metrischen Räumen, die Existenz von Primidealen in abzählbaren kommutativen Ringen und der peanosche Existenzsatz für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen (§ IV). Manche Sätze der herkömmlichen Mathematik benötigen noch stärkere Beweismittel und sind über RCA 0 zur arithmetischen transfiniten Rekursion äquivalent, z. B. Lusins Separationssatz, Borels domain theorem oder der Satz über die Existenz von Ulm-Zerlegungen (§ V). Besonders starke Sätze sind sogar zu voller Π 11 -Komprehension äquivalent, etwa der Satz von Cantor-Bendixon für abgeschlossene Mengen oder das Schlüsseltheorem für abzählbare Abelsche Gruppen (§ VI).
- 23.
Niebergall, Hilbert's Programme [2002a], 366 u. ö., geht noch weiter, wenn er darauf hinweist, daß die Nicht-Formalheit der Metamathematik das HP dem direkten Zugriff der Gödelsätze entzieht. Dies zieht jedoch Probleme für (HP1) nach sich, s. u.
- 24.
Gentzen, Neue Fassung [1938b], 44.
- 25.
Vgl. Bernays, Hilberts Untersuchungen [1935], 216.
- 26.
Daß sie darüber hinausgeht, konnte Gentzen schon 1936 zeigen durch die Kombination seines Resultats mit dem Gödelschen. In seiner Habilitationsschrift legte er dann noch einen direkten Beweis für die Unbeweisbarkeit der Transfiniten Induktion bis ε 0 vor; vgl. Gentzen, Widerspruchsfreiheit [1936a] und Gentzen, Beweisbarkeit [1943].
- 27.
Vgl. Bernays, Hilberts Untersuchungen [1935], bes. 211–216.
- 28.
Vgl. Mostowski, Thirty Years [1966], 7,18–19.
- 29.
Mostowski, Thirty Years [1966], 18.
- 30.
Peckhaus, Logik, Mathesis [1997], 5.
- 31.
Das englische Original lautet: „It [= der zweite Unvollständigkeitssatz] destroyed the so-called Hilbert's programme which was initiated by David Hilbert. Aim of this programme was that it should be possible to prove the consistency of any given (mathematical) theory by finite means, i.e. means available in NT.“
- 32.
Vgl. Detlefsen, Alleged Refutation [1990], 365–368.
- 33.
Methodologisch ist es natürlich ein Problem, im Folgenden ein Argument darzustellen und zu kritisieren, das nur eines unter vielen sein muß. Ein solches Vorgehen kann aber zumindest das Verdienst bringen, grundsätzliche Probleme mit solchen Argumenten exemplarisch zu verdeutlichen und damit einen Problemstand zu markieren, mit dem zukünftige Ansätze ähnlicher Argumentationen umgehen müssen. – Ähnlich, nämlich durch Behandlung eines „Standardarguments“ verfährt auch Michael Detlefsen, der als einer der wenigen Autoren kritisch fragt, wie denn überhaupt für ein Scheitern des HP ausgehend von den Gödelsätzen argumentiert werden kann. Seine Argumentation enthält allerdings viele Elemente seiner instrumentalistischen Auffassung des HP, die man nicht teilen muß (vgl. hierzu im ersten Teil Kap. 8), und geht bei der Rekonstruktion des Standardarguments derart kleinschrittig vor, daß die Übersicht leidet. Dennoch haben die folgenden Ausführungen und Analysen eine gewisse Ähnlichkeit mit den Ergebnissen in Detlefsen, Hilbert's Program [1986].
- 34.
Das Argument ist nicht auf finite Aussagen festgelegt. Man könnte auch von Fakten, Sachverhalten oder sonst etwas sprechen. Wichtig ist für die folgenden Überlegungen nur, daß man auf diese Entitäten die Prädikate „wird durch eine Formel ϕ ausgedrückt“ und „kann finit bewiesen werden“ anwenden kann.
- 35.
Das oben Gesagte gilt auch für nicht-zahlentheoretische formale Systeme T, etwa für Mengenlehren, in denen man die Voraussetzung von Gödel-2, genügend Zahlentheorie zu „enthalten“, problemlos erfüllen kann, insofern Zahlentheorien in diese Mengenlehren einbettbar sind. Genauer müßte man also davon sprechen, daß es sich bei Kons T um eine „T-theoretische“ Formel handelt, d. h. um eine Formel, die man standardmäßig so auffaßt, daß sie über diejenigen Objekte spricht, über die die Theorie T spricht. Die Zahlentheorie stehe exemplarisch dafür – was sich auch deswegen nahelegt, weil die Gödelisierungen tatsächlich meist in (eingebetteter oder direkt vorhandener) Zahlentheorie durchgeführt werden.
- 36.
Faktisch sind die Zahlgleichungen, die solche metamathematischen Aussagen kodieren, wesentlich komplexer als „2 + 2 = 4“. Diese einfache Gleichung dient hier nur Illustrationszwecken.
- 37.
Es handelt sich um eine Fußnote zur englischen Übersetzung seiner Arbeit Gödel, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit [1932b], nämlich Gödel, Completeness [1967], die 1972 als eine der Bemerkungen zu den Unentscheidbarkeitsresultaten einzeln erneut abgedruckt wurde; vgl. Gödel, Some Remarks [1972a], 305. – Es ist allerdings schon etwas überraschend, daß Gödel erst 1966 eine entsprechende Einsicht geäußert hat. In seinen vorherigen Publikationen schreibt er durchgehend, daß die Konsistenz eines Systems nicht in dem System selbst beweisbar sei, identifiziert diese Formulierung also mit seinem eigentlichen Resultat, daß nämlich in einem System eine Formel, die in bestimmtem Sinne die Konsistenzbehauptung des Systems „ausdrückt“, nicht beweisbar ist.
- 38.
Feferman, Gödel 1972a [1990], 282.
- 39.
Takeuti, GLC [1955]; Feferman, Arithmetization [1960]; Kreisel, Mathematical Logic [1965]; vgl. auch Feferman, Gödel 1972a [1990], 282–283.
- 40.
Vgl. Smorynski, Self-Reference [1985]; Smorynski, Hilbert's Programme [1988].
- 41.
Vgl. auch im ersten Teil Kap. 7
- 42.
Eigentlich unterscheidet Smorynski von der realen und der idealen Mathematik auch noch eine dritte Gruppe von Sätzen, die finiten generellen Propositionen. Detlefsen hat jedoch überzeugend gezeigt, daß diese Dreiteilung dem HP nicht adäquat ist und letztlich von einer Fehlinterpretation der Hilbertschen Texte durch Smorynski herrührt, vgl. Detlefsen, Alleged Refutation [1990], 346–357.
- 43.
Was „als wahr einsehbar zu sein“ heißt, soll hier gar nicht genau bestimmt werden. Es ist nur wichtig, daß hier mindestens das steht, was in der Prämisse der folgenden Vollständigkeitsforderung (Vollst) wieder auftritt.
- 44.
Vgl. Detlefsen, Alleged Refutation [1990].
- 45.
„Epistemic authority“, vgl. Detlefsen, Alleged Refutation [1990], 361.
- 46.
Detlefsen hält es dagegen für ausgemacht, daß hier eine Grenze der Hilbertschen Analogie Beweistheorie/naturwissenschaftliche Theorie erreicht sei. Während in der Naturwissenschaft eine „soundness condition“ (d. h. daß die Theorie nichts der Beobachtung Widersprechendes zur Folge haben darf) eine „conservation condition“ (d. h. daß die Theorie nichts Nicht-Beobachtbares zur Folge haben darf) nach sich ziehe, gebe es für einen derartigen Zusammenhang in der Beweistheorie keine Gründe. Vgl. die sehr knappe Formulierung Detlefsen, Alleged Refutation [1990], 358–359. – Demgegenüber wird hier die Position vertreten, daß dieser Punkt sehr wohl noch im Bereich von Hilberts Analogie liegt und es eigentlich keinen Grund dafür gibt, von einer naturwissenschaftlichen Theorie zu verlangen, alle in Beobachtungssprache formulierten Sätze zu beweisen.
- 47.
So behauptet z. B. Michael Rathjen, daß sich hinter dem Schritt (HP2) ein „vollentwickeltes Konservativitätsprogramm“ verberge; vgl. Rathjen, Eine Ordinalzahlanalyse [1992], 4. George und Velleman sind der Ansicht, sogar für den Intuitionisten überzeugend gezeigt zu haben, daß aus finit bewiesener Konsistenz Konservativität über dem Finitismus folge; vgl. George/Velleman, Philosophies [2002], 160.
- 48.
Es ist nicht völlig klar, wie eng Hilbert den Begriff der „Zahlengleichung“ hier verwenden wollte. Wenn er von „Zahlengleichungen“ redet, die sich aus der „Anwendung“ des mathematischen „Apparats“ ergeben, so könnten auch Gleichungen zwischen geschlossenen zahlentheoretischen Termen gemeint sein. In diesem Fall wäre die Entscheidbarkeit der Zahlengleichungen stark davon abhängig, welche Funktionszeichen in der Sprache zugelassen werden.
- 49.
Der Einfachheit halber ist in den vorstehenden Überlegungen der Fall der Negation ausgelassen.
- 50.
Siehe Hilbert, Grundlagen Mathematik [1928], 14–15; vgl. auch Bernays, Hilberts Untersuchungen [1935], 216, Fn. 1.
- 51.
Vgl. George/Velleman, Philosophies [2002], 157–160.
- 52.
George/Velleman, Philosophies [2002], 160.
- 53.
Dafür argumentiert z. B. Pohlers, The First Step [2009], 354 mit ausdrücklichem Bezug auf Hilberts Analogie zu den Naturwissenschaften.
- 54.
Siehe hierzu und zum Folgenden Hilbert, Grundlagen Mathematik [1928], 14–15; vgl. auch Bernays, Hilberts Untersuchungen [1935], 216, Fn. 1.
- 55.
Zur Vereinfachung wird hier nur ein Zahlzeichen statt mehreren explizit angegeben.
- 56.
Ein wertvoller Ansatz für eine solche Analyse findet sich in Schirn/Niebergall, Extensions [2001], 137–141.
- 57.
Detlefsen, Alleged Refutation [1990], 360–365.
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Tapp, C. (2013). Der Problemkreis „Gödel“. In: An den Grenzen des Endlichen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_14
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