Zusammenfassung
Wir beginnen dieses Kapitel mit der Betrachtung des Bahndrehimpulses. Er gibt Anlass zur Definition allgemeiner Drehimpulse, für die wir auf algebraische Weise das Eigenwertspektrum herleiten. Nach einer kurzen Darstellung der Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses in der Ortsdarstellung skizzieren wir einige Ideen zur Addition von Drehimpulsen.
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Notes
- 1.
Statt \(\mathbf{J}\) findet man auch oft \(\mathbf{j}\) (wobei das dann natürlich nicht mit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte verwechselt werden darf). Wir bezeichnen in diesem Abschnitt den Operator mit \(\mathbf{J}\) und den Eigenwert mit \(j\).
- 2.
\(\hbar\) schuldet sich der Wahl der Einheiten, statt dessen kann auch jede andere Zahl dastehen. Wesentlich ist der Faktor \(\mathrm{i}\).
- 3.
\(j\) heißt auch Drehimpulsquantenzahl und \(m\) magnetische Quantenzahl.
- 4.
Für \(J_{+}\) z. B. \(\left|j,m\right\rangle\rightarrow\left|j,m+1\right\rangle\rightarrow\left|j,m+2\right\rangle\rightarrow\cdots\)
- 5.
Wir verzichten hier auf die Unterscheidung zwischen \(=\) und \(\cong\).
- 6.
Der Antikommutator ist wie üblich definiert als \(\left\{ A,B\right\}=AB+BA\).
- 7.
Wir bemerken, dass gilt
$$\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\mathbf{l}^{2}}{\hbar^{2}r^{2}}$$Siehe auch Anhang D (Band 1) ‘Aus der Analysis 1’.
- 8.
Andere Schreibweisen: \(Y_{l}^{m}\left(\vartheta,\varphi\right)=Y_{l}^{m}\left(\hat{r}\right)=\left\langle\hat{r}\right|\left.l,m\right\rangle\). \(\hat{r}\) ist der Einheitsvektor und steht als Abkürzung für das Paar \(\left(\vartheta,\varphi\right)\). Im Übrigen ist auch die Schreibweise \(Y_{{lm}}\) \(\left(\vartheta,\varphi\right)\) verbreitet.
- 9.
Anschauliche Begründung: Wenn die beiden Drehimpulsvektoren parallel zueinander liegen, addieren sich ihre Drehimpulsquantenzahlen zu \(j=j_{1}+j_{2}\). Bei anderen Anordnungen ist \(j\) kleiner; wegen \(j\geq 0\) ist der kleinste Wert \(\left|j_{1}-j_{2}\right|\).
- 10.
Es gibt für diese Zahlen mehrere Schreibweisen, z. B. auch \(C_{{m_{1}m_{2};jm}}^{{j_{1}j_{2}}}\). Verwandt sind die \(3j\) ‑Symbole
$$\left(\begin{smallmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{smallmatrix}\right)=\left(-1\right)^{{j_{1}-j_{2}-m}}\tfrac{1}{\sqrt{2j+1}}\left\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\right.\left|j-m\right\rangle$$Die \(3j\)‑Symbole sind gegen zyklische Vertauschung invariant:
$$\left(\begin{smallmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}j&j_{1}&j_{2}\\m&m_{1}&m_{2}\end{smallmatrix}\right)\text{ usw.}$$ - 11.
Damit ein Clebsch‐Gordan‐Koeffizient nicht gleich null ist, müssen die beiden Bedingungen \(\left|j_{1}-j_{2}\right|\leq j\leq j_{1}+j_{2}\) und \(m=m_{1}+m_{2}\) erfüllt sein. Die CGK erfüllen die Orthogonalitätsrelationen
$$\begin{aligned}\displaystyle\sum _{{m_{1},m_{2}}}\left\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\right.\left|jm\right\rangle\left\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\right.\left|j^{{\prime}}m^{{\prime}}\right\rangle&\displaystyle=\delta _{{jj^{{\prime}}}}\delta _{{mm^{{\prime}}}}\\\displaystyle\sum _{{j,m}}\left\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\right.\left|jm\right\rangle\left\langle j_{1}j_{2}m_{1}^{{\prime}}m_{2}^{{\prime}}\right.\left|jm\right\rangle&\displaystyle=\delta _{{m_{1}m_{1}^{{\prime}}}}\delta _{{m_{2}m_{2}^{{\prime}}}}\end{aligned}$$Die einzelnen CGK können im Wesentlichen mithilfe der Leiteroperatoren \(j_{{1\pm}}+j_{{2\pm}}\) berechnet werden, wobei man z. B. von \(\left\langle j_{1}j_{2}j_{1}j_{2}\right.\left|j_{1}+j_{2}~j_{1}+j_{2}\right\rangle=1\) ausgehen kann. Beispielsweise erhält man so
$$\left(\begin{smallmatrix}A&B&A+B\\a&b&c\end{smallmatrix}\right)=\left(-1\right)^{{A-B-c}}\left[\tfrac{\left(2A\right)!\left(2B\right)!\left(A+B+c\right)!\left(A+B-c\right)!}{\left(2A+2B+1\right)!\left(A+a\right)!\left(A-a\right)!\left(B+b\right)!\left(B-b\right)!}\right]^{{\frac{1}{2}}}$$ - 12.
Natürlich lassen sich die Überlegungen auch darstellungsunabhängig durchführen.
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© 2012 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Pade, J. (2012). Drehimpuls. In: Quantenmechanik zu Fuß 2. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25314-0_2
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