Chaînes et antichaînes

Les problèmes de tri, de recherche et d’ordonnancement que l’on rencontre, par exemple, en informatique et en recherche opérationnelle, sont fréquemment liés à la détermination du cardinal maximum d’une antichaîne d’un ensemble ordonné, c’est-à-dire de sa largeur. Nous donnons plus loin deux illustrations de cette observation générale (exemple 4.28 et exercice 4.2). Ce chapitre est donc dédié à l’étude de cette largeur et à des questions connexes. Tout d’abord, le théorème de Dilworth établit que, pour tout ensemble ordonné P, le cardinal minimum d’une partition de P en chaînes est égal à la largeur de P. C’est l’un des résultats les plus célèbres de la combinatoire, et les deux premières sections de ce chapitre lui sont consacrées. Ce théorème est énoncé et démontré dans la section 4.1, où est aussi décrit son proche environnement. La section 4.2 porte sur ses conséquences dans le cas particulier des ensembles ordonnés bipartis, et notamment sur son équivalence avec le théorème de Künig–Egerváry portant sur les couplages et les transversales dans une telle structure. Dans les notes de ce chapitre, on fait ressortir l’importance de cette équivalence, qui conduit à la détermination effective de la largeur par des algorithmes de flots issus de la théorie des graphes. On y rappelle que le théorème de Dilworth équivaut aussi à trois autres résultats fondamentaux de la combinatoire : le théorème de Künig–Hall et les théorèmes de Menger et de Ford et Fulkerson. Ceux-ci sont tout à fait essentiels et ont de nombreuses applications, par exemple, aux matrices binaires et aux problèmes d’affectation pour le premier sous sa forme la plus connue (exercice 4.6), et aux réseaux de transport pour les deux autres.