Zusammenfassung
Die in Kapitel 5 bereitgestellten ökonometrischen Methoden erlauben sowohl die Untersuchung des Einflusses beobachtbarer Merkmale auf die Versicherungsentscheidung und den Eintritt eines Schadensfalls als auch die Analyse der Selektionsmechanismen.
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Literatur
nämlich während des ersten Jahres oder während der ersten 21 Monate nach Vertragsabschluß
Die große Anzahl von Beobachtungen, bei denen für diese Dauer nicht der exakte Wert, sondern nur eine untere Schranke bekannt ist, läßt eine deskriptive Analyse sinnlos erscheinen.
Wie dieser Vergleich vorgenommen wird, ist in 6.1.2 beschrieben.
Um wirklich eine Tarifierung vornehmen zu können, wäre es auch wichtig zu wissen, wie lange die Personen, die arbeitslos werden, im Durchschnitt Leistungen empfangen. Die Länge einer Arbeitslosigkeitsperiode wurde von uns jedoch nicht untersucht.
Am Ende der Abschnitte 6.1.2 und 6.1.4 wird beschrieben, wie die Selbstselektion mit den unterschiedlichen Arbeitslosigkeitsrisiken von nachträglich versicherten Kreditnehmern mit Vertrag 1 bzw. Vertrag 2 in Zusammenhang steht.
vgl. z.B. Greene(1993), S.350 ff.
Das Verfahren gehört zur Klasse der Quasi-Newton-Verfahren, die sich dadurch auszeichnen, daß sie statt der Hesse-Matrix eine Approximation derselben während des Iterationsverfahrens verwenden. 7Gourieroux (1989), S. 192, zeigt, daß diese für festes p konkav in h und a ist.
Die Testergebnisse basieren auf 7 und â.
Bei der Analyse der Dauer zwischen Versicherungsabschluß und Arbeitslosigkeit wurde mit den Werten -0,8;-0,79;; 0,79; 0,8 gearbeitet.
d.h. jeweils die ersten vier Komponenten der Vektoren /f1 i /2, ß3i /39 und y
d.h. es wurde Ho: p 0 gegen H,: p 0 getestet
d.h. es wurde Ho: p # 0 gegen H,: p = 0 getestet
Kapitalhöhe in 1000 Francs
Auf die Angabe des Koeffizienten des Absolutglieds, ß15, verzichten wir sowohl in dieser als auch in allen folgenden Analysen.
Dies ist der Fall, falls der geschätzte Koeffizient der Variablen negativ ist.
Dies betrifft positive geschätzte Koeffizienten.
Die Anzahl der Arbeitslosen ist deutlich kleiner als die der Versicherten.
Die Mittelwertbildung wird dann zu leicht von Ausreißern beeinflußt.
vgl. 4.1.3
Es wurde vermutet, daß die für ältere Kreditnehmer längere Suche nach einem neuen Arbeitsplatz dazu führt, daß mehr Schadensfälle deklariert werden.
Um eine genügend große Anzahl an Individuen in den Klassen zu gewährleisten, wurde nicht die zur Maximum-Likelihood-Schätzung herangezogene Klasseneinteilung benutzt, sondern folgende gröbere Einteilung: Für die Variable Kapital wurde eine Einteilung in 7 Intervalle ([10, 150[, [150, 150[, [250, 3004, [300, 350], [350, 400[, [400, 500[, [500, 750]) vorgenommen. Die Variable Position hat nur zwei mögliche Ausprägungen. Hinsichtlich der Kreditlaufzeit wurde (wie oben) zwischen Krediten mit einer Laufzeit unter 18 Jahren und einer Laufzeit von mindestens 18 Jahren unterschieden. Die Variable Alter wurde berücksichtigt, indem eine Gruppe jüngerer Versicherter (mit einem Alter unter 32 Jahren) und eine Gruppe älterer Versicherter (mit einem Alter ab 32 Jahren) gebildet wurde. Insgesamt erhält man so eine Aufteilung der Versicherten in 56 Klassen, von denen zur Durchführung des x2-Tests 45 herangezogen wurden, da in den verbleibenden Klassen die theoretischen Häufigkeiten n° zum Teil Werte kleiner als fünf annahmen. Hierdurch wurde ca. 1% der Personen nicht für die aggregierte Teststatistik berücksichtigt.
In den einzelnen Klassen ergibt sich folgendes Bild: In 36 von 45 Fällen wird die Unabhängigkeit zum 5%-Niveau abgelehnt.
Nicht-Arbeitslose und Arbeitslose, jeweils unterteilt nach Verträgen
Die für ß2 geschätzten Werte sind nach wie vor frei, d.h. nicht unter der Restriktion p = 0, geschätzt, da es diese Werte sind, die den Einfluß der beobachtbaren Variablen auf das Arbeitslosigkeitsrisiko korrekt widerspiegeln.
Das mittlere Risiko aller Versicherten wurde ohnehin anhand der Randwahrscheinlichkeiten berechnet und bleibt von der Modifikation unberührt.
Für Vertrag 1 besteht für diese Schadensfälle kein Anspruch auf Versicherungsleistungen.
Obwohl der geschätze Korrelationskoeffizient nicht signifikant von Null verschieden ist, werden wir die anhand der geschätzten Parameter bestimmte bedingte Wahrscheinlichkeit statt der Randwahrscheinlichkeit betrachten.
Es ist die Ableitung der Funktion z,.i 4’’(-’ P’’-s 43“) zu bilden.
Dieser ist Hauptkreditnehmer und hat im Alter von 33,9 Jahren einen auf 19,6 Jahre abgeschlossenen Kredit über 288.132 FF versichert. Das entnimmt man der Tabelle in Abschnitt 4.1.1.
Die Entschädigung von Schadensfällen während des ersten Jahres nach Versicherungsabschluß ist der einzige Unterschied zwischen den von Vertrag 1 und Vertrag 2 garantierten Leistungen.
Auch bei einem Lagrange-Multiplikator-Test muß die Nullhypothese fehlender Korrelation zum 5%-Niveau beibehalten werden.
Die Richtung der Kausalität kann ohne zusätzliche Informationen nicht geklärt werden: Wählen Personen mit einem a priori hohen Schadensrisiko den guten Vertrag, oder werden Personen, die den guten Vertrag (möglicherweise aus ganz anderen Gründen) gewählt haben, in ihrer Risikovorsorge nachlässig?
Es ist allerdings nicht auszuschließen, daß mit der Versicherung sehr wohl ein verändertes Verhalten der Kreditnehmer einhergeht, daß aber erst zu einem späteren Zeitpunkt, also nicht mehr während der zurückgekauften Karenzzeit, Auswirkungen zeigt.
Zum Vergleich wurde auch angegeben, wie sich das in 6.1.2 geschätzte Arbeitslosigkeitsrisiko mit den jeweiligen Variablen ändert.
In 5.1.1.3 wurde dargelegt, daß man Personen als von der Arbeitslosigkeit bedroht ansehen wird, wenn sie sehr häufig oder sehr schnell nach Versicherungsabschluß arbeitslos werden.
Die im folgenden beschriebene Methode kann auch zur Schätzung der Quote der Schadensfälle, die sich während eines Zeitraums von sieben Jahren nach Versicherungsabschluß ereignet haben, herangezogen werden. (Für Kreditnehmer mit nachträglich versicherten Krediten, für die der Versicherungsbeginn zwischen Juli 1985 und Dezember 1986 liegt, beträgt der mittlere Beobachtungszeitraum etwa sieben Jahre.) Tut man dies, prognostiziert man eine Schadensquote von 10,5%, die etwas unter der tatsächlich beobachteten von 11,5% liegt.
vg1. (5.3), (5.4), (5.11) für die Randwahrscheinlichkeiten Die Berechnung der für die bedingten Wahrscheinlichkeiten ebenfalls benötigten gemeinsamen Wahr scheinlichkeiten erfolgt wie bei der Herleitung von (5.24) und (5.29).
Die Variable xi3 enthält die Laufzeit des von i aufgenommenen Kredits in Jahren, so daß die Kreditlaufzeit in Monaten 12 • x,3 beträgt.
Zum Auswertungszeitpunkt hatten 15% der mit Vertrag 2 Versicherten und 8% der mit Vertrag 1 Versicherten einen Schadensfall.
Wir weisen nochmals darauf hin, daß diese Quoten (unkorrekterweise) anhand der Gesamtlaufzeit prognostiziert wurden.
Die Schadensquote für alle Versicherten ändert sich nicht, da sie ohnehin anhand der Randverteilung der Dauer prognostiziert wurde.
Kapitalhöhe in 1000 Francs
vg1. 4.2.2
Nur für die Versicherten ist bekannt, ob sie im Lauf ihres Kredits arbeitslos werden oder nicht.
Der Tabelle in 4.2.1 entnimmt man, daß es sich hierbei um einen Hauptkreditnehmer handelt, der im Alter von 30,4 Jahren einen über 19,3 Jahre laufenden Kredit in Höhe von 317.627 FF abgeschlossen hat.
Da die Tarifierung nur die Versicherten betreffen wird, sind Risikounterschiede in der Gruppe der Kreditnehmer, die sich nicht auf die Versicherten übertragen, irrelevant.
Bach (1995a) schließt aufgrund eines Wald-Tests auf die Signifikanz des Korrelationskoeffizienten. Die unterschiedlichen Entscheidungen, basierend auf Wald-bzw. Likelihood-Ratio-Test, hängen u.a. damit zusammen, daß man, wie bereits in Abschnitt 5.3 ausgeführt, bei der Berechnung der Testgröße des Wald-Tests nicht auf die adäquate Varianz-Kovarianz-Matrix zurückgreifen kann: Die auf dem Erwartungswert der negativen inversen Hesse-Matrix basierende Schätzung unterschätzt die Varianz des zweistufigen Schätzers, der nicht asymptotisch effizient ist. Dies resultiert darin, daß der Test zugunsten der Annahme der Gegenhypothese verzerrt ist. Ferner sind die Testprinzipien auch bei der Verwendung der adäquaten Varianz-Kovarianz-Matrix des Schätzers nur asymptotisch äquivalent, so daß man aufgrund verschiedener Tests grundsätzlich zu verschiedenen Entscheidungen kommen kann.
Auch bei einem Lagrange-Multiplikator-Test kann die Hypothese, der Korrelationskoeffizient sei Null, zum 5%-Niveau nicht verworfen werden.
Wir verfügen nur über Daten von Personen, denen ein beantragter Kredit auch bewilligt worden ist.
Auch hier bestätigt die Berechnung der Ableitung der Wahrscheinlichkeit, innerhalb von 21 Monaten nach Kreditabschluß einen Schadensfall zu haben, unter der Bedingung, daß ein Versicherungsvertrag abgeschlossen worden ist (ausgewertet für den mittleren Versicherten), das in der Tabelle dargestellte Monotonieverhalten.
Auch ein Lagrange-Multiplikator-Test spricht nicht gegen die Nullhypothese, daß keine Korrelation zwischen Versicherungsentscheidung und Arbeitslosigkeit vorliegt.
Zum Vergleich ist auch der Einfluß auf das in 6.2.2 untersuchte Arbeitslosigkeitsrisiko noch einmal dargestellt.
vg1. 5.1.1.3
Man beachte allerdings die Ergebnisse des letzten Abschnitts, wo die Laufzeit trotz der Angleichung des Beobachtungszeitraums signifikanten Einfluß auf das Arbeitslosigkeitsrisiko hatte.
Natürlich erhalten auch ältere Kreditnehmer keinen Kredit, wenn die Bank ihr Arbeitslosigkeitsrisiko als zu hoch einschätzt. Der Unterschied liegt darin, daß aufgrund der gründlichen Prüfung jüngerer Kreditnehmer die Einschätzung von deren Arbeitslosigkeitsrisiko seitens der Bank vermutlich zutreffender ist.
Analog zum Vorgehen bei den bereits bestehenden Verträgen kann man hier die für einen Beobachtungszeitraum von fünf Jahren (Versicherte werden hier zwischen 21 und 100 Monaten nach Versicherungsabschluß beobachtet, im Mittel etwa fünf Jahre) prognostizierte Schadensquote berechnen. Das Ergebnis feilt mit 6,0% niedriger aus als die tatsächliche Schadensquote von 7,9%
Es handelt sich um die Wahrscheinlichkeit, daß die Dauer zwischen Versicherungsabschluß und Arbeitslosigkeit kleiner als die Kreditlaufzeit ist, unter der Bedingung, daß eine Versicherung abgeschlossen wurde.
Zum Auswertungszeitpunkt weiß man bereits, welche Kreditnehmer sich versichert haben, und wird für diese Personen die Schadensquote prognostizieren. Eine ex-ante Prognose müßte sich dagegen auf alle Kreditnehmer beziehen.
vg1. aber die Kritik in Kapitel 7
Da die Versicherung allen Kreditnehmern angeboten wird, ist es im Hinblick auf eine Tarifdifferenzierung sinnvoll, die Risikounterschiede für alle Kreditnehmer zu betrachten. Allerdings ist (wie bereits in 6.2.2 herausgestellt) nicht das unbedingte Risiko, sondern das Risiko unter der Bedingung, daß eine Versicherung abgeschlossen wird, relevant.
Bereits dort wurde darauf hingewiesen, daß beide Erklärungen für beide Gruppen plausibel wären, so daß letztlich nicht klar wird, weshalb ein Unterschied zwischen Kreditnehmern mit bereits bestehenden Kreditverträgen und Kreditnehmern mit neu abgeschlossenen Kreditverträgen besteht.
d.h. aufgrund einer konkreten Bedrohung
Man kann außerdem vermuten, daß Personen, für die eine konkrete Bedrohung des Arbeitsplatzes gegeben ist, der Kredit gar nicht gewährt wird.
Diese Personen beobachten wir allerdings nicht, da uns für die bereits bestehenden Kredite nur Daten von Versicherten zur Verfügung stehen.
Wie bereits in den entsprechenden Abschnitten erläutert wurde, ist diese Maßnahme zur Absicherung des höheren Risikos im Hinblick darauf, daß der Unterschied zwischen den beiden Verträgen nur Schadensfälle im ersten Jahr nach Versicherungsabschluß betrifft, nicht unbedingt sinnvoll.
die ja die eigentlich zu erwartende, von der Restlaufzeit abhängige, Quote überschätzt 67nachträgliche Versicherung oder Versicherung zum Zeitpunkt der Kreditaufnahme
nachträgliche Versicherung oder Versicherung zum Zeitpunkt der Kreditaufnahme
Auswahl zwischen zwei Verträgen oder Entscheidung für oder gegen eine Versicherung
Bei dem uns vorliegenden Beobachtungsmaterial treten beide Effekte nur kombiniert zu Tage, da die Art der Entscheidung vom Zeitpunkt des Versicherungsabschlusses abhängt.
Auch die Wahrscheinlichkeit, Vertrag 1 abzuschließen, wird in anderer Weise beeinflußt als die Wahrscheinlichkeit, einen neu abgeschlossenen Kredit zu versichern.
Berechnet wurden für die neu abgeschlossenen Kredite die Parameter, die das Arbeitslosigkeitsrisiko eines Kreditnehmers, und nicht eines Versicherten, beschreiben. An entsprechender Stelle wurde aber darauf hingewiesen, daß das Monotonieverhalten des Arbeitslosigkeitsrisikos auch für den mittleren Versicherten erhalten bleibt.
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Bach, C. (1999). Ökonometrische Analyse. In: Negativauslese und Tarifdifferenzierung im Versicherungssektor. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97785-4_6
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